問題1：数量の大小関係を不等式で表す。 (1) 1本 $x$ 円の鉛筆5本と、1個 $y$ 円の消しゴム4個の代金が300円以下であることを不等式で表す。 (2) ある数 $x$ を半分にして5を足すと、元の数の3倍より大きくなることを不等式で表す。 問題2：次の不等式を解く。 (1) $x-3<9-2x$ (2) $3x+5>7x+1$ (3) $9x-7 \ge 4x+3$ (4) $1-3x \le \frac{2x+11}{4}$ (5) $3(4+x)>6x-1$ (6) $3x < 13-7(x+1)$ 問題3：ある自然数の4倍に3を足した数は、もとの数を7倍して6を引いた数より大きくなる。もとの数を求めよ。 問題4：9%の食塩水と4%の食塩水を混ぜ合わせて、400gの食塩水を作る。混ぜ合わせてできた食塩水の濃度を7%以下にしたいとき、4%の食塩水は何g以上必要か。 問題5：次の不等式を解く。 (1) $\begin{cases} x \le 2x+1 \\ 3(x+1) < x+7 \end{cases}$ (2) $\begin{cases} x > 1-x \\ 2(x+1) > x-2 \end{cases}$ (3) $x-1 \le 5 \le x+1$

1. 問題の内容

問題1：数量の大小関係を不等式で表す。

(1) 1本 $x$ 円の鉛筆5本と、1個 $y$ 円の消しゴム4個の代金が300円以下であることを不等式で表す。

(2) ある数 $x$ を半分にして5を足すと、元の数の3倍より大きくなることを不等式で表す。

問題2：次の不等式を解く。

(1) $x-3<9-2x$

(2) $3x+5>7x+1$

(3) $9x-7 \ge 4x+3$

(4) $1-3x \le \frac{2x+11}{4}$

(5) $3(4+x)>6x-1$

(6) $3x < 13-7(x+1)$

問題3：ある自然数の4倍に3を足した数は、もとの数を7倍して6を引いた数より大きくなる。もとの数を求めよ。

問題4：9%の食塩水と4%の食塩水を混ぜ合わせて、400gの食塩水を作る。混ぜ合わせてできた食塩水の濃度を7%以下にしたいとき、4%の食塩水は何g以上必要か。

問題5：次の不等式を解く。

(1) $\begin{cases} x \le 2x+1 \\ 3(x+1) < x+7 \end{cases}$

(2) $\begin{cases} x > 1-x \\ 2(x+1) > x-2 \end{cases}$

(3) $x-1 \le 5 \le x+1$

2. 解き方の手順

問題1：

(1) 鉛筆5本の代金は $5x$ 円、消しゴム4個の代金は $4y$ 円。合計は $5x+4y$ 円。これが300円以下なので、$5x+4y \le 300$。

(2) $x$ を半分にした数は $\frac{x}{2}$。これに5を足すと $\frac{x}{2}+5$。 $x$ の3倍は $3x$。 $\frac{x}{2}+5 > 3x$。

問題2：

(1) $x-3<9-2x \Rightarrow 3x < 12 \Rightarrow x < 4$

(2) $3x+5>7x+1 \Rightarrow 4 > 4x \Rightarrow x < 1$

(3) $9x-7 \ge 4x+3 \Rightarrow 5x \ge 10 \Rightarrow x \ge 2$

(4) $1-3x \le \frac{2x+11}{4} \Rightarrow 4-12x \le 2x+11 \Rightarrow -7 \le 14x \Rightarrow x \ge -\frac{1}{2}$

(5) $3(4+x)>6x-1 \Rightarrow 12+3x>6x-1 \Rightarrow 13>3x \Rightarrow x < \frac{13}{3}$

(6) $3x < 13-7(x+1) \Rightarrow 3x < 13-7x-7 \Rightarrow 10x < 6 \Rightarrow x < \frac{3}{5}$

問題3：

自然数を $x$ とすると、$4x+3 > 7x-6 \Rightarrow 9 > 3x \Rightarrow x < 3$。自然数なので、$x=1,2$。

$x=1$ のとき $4(1)+3=7$, $7(1)-6=1$。$7>1$ より条件を満たす。

$x=2$ のとき $4(2)+3=11$, $7(2)-6=8$。$11>8$ より条件を満たす。

したがって、$x=1,2$。

問題4：

4%の食塩水の量を $x$ gとする。9%の食塩水の量は $(400-x)$ g。

食塩の量は $0.09(400-x) + 0.04x$ g。

食塩水の濃度は $\frac{0.09(400-x)+0.04x}{400}$。これが7%以下なので、

$\frac{0.09(400-x)+0.04x}{400} \le 0.07 \Rightarrow 0.09(400-x)+0.04x \le 28 \Rightarrow 36-0.09x+0.04x \le 28 \Rightarrow -0.05x \le -8 \Rightarrow x \ge 160$

よって、4%の食塩水は160g以上必要。

問題5：

(1) $\begin{cases} x \le 2x+1 \\ 3(x+1) < x+7 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} -1 \le x \\ 3x+3 < x+7 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \ge -1 \\ 2x < 4 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \ge -1 \\ x < 2 \end{cases} \Rightarrow -1 \le x < 2$

(2) $\begin{cases} x > 1-x \\ 2(x+1) > x-2 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 2x > 1 \\ 2x+2 > x-2 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > \frac{1}{2} \\ x > -4 \end{cases} \Rightarrow x > \frac{1}{2}$

(3) $x-1 \le 5 \le x+1 \Rightarrow \begin{cases} x-1 \le 5 \\ 5 \le x+1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \le 6 \\ 4 \le x \end{cases} \Rightarrow 4 \le x \le 6$

3. 最終的な答え

問題1：

(1) $5x+4y \le 300$

(2) $\frac{x}{2}+5 > 3x$

問題2：

(1) $x < 4$

(2) $x < 1$

(3) $x \ge 2$

(4) $x \ge -\frac{1}{2}$

(5) $x < \frac{13}{3}$

(6) $x < \frac{3}{5}$

問題3：1, 2

問題4：160g

問題5：

(1) $-1 \le x < 2$

(2) $x > \frac{1}{2}$

(3) $4 \le x \le 6$