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写像 $f: X \rightarrow Y$、集合 $X$ の部分集合 $A$、集合 $Y$ の部分集合 $C$ について、以下の命題が正しければ証明し、正しくない場合は反例を挙げよ。 (1) $f$ が全射ならば、$f^{-1}(f(A)) \subset A$。 (2) $f$ が単射ならば、$f^{-1}(f(A)) \subset A$。 (3) $f$ が全射ならば、$C \subset f(f^{-1}(C))$。 (4) $f$ が単射ならば、$C \subset f(f^{-1}(C))$。

代数学写像全射単射逆写像集合
2025/6/2

1. 問題の内容

写像 f:X→Yf: X \rightarrow Y、集合 XX の部分集合 AA、集合 YY の部分集合 CC について、以下の命題が正しければ証明し、正しくない場合は反例を挙げよ。
(1) ff が全射ならば、f−1(f(A))⊂Af^{-1}(f(A)) \subset A。
(2) ff が単射ならば、f−1(f(A))⊂Af^{-1}(f(A)) \subset A。
(3) ff が全射ならば、C⊂f(f−1(C))C \subset f(f^{-1}(C))。
(4) ff が単射ならば、C⊂f(f−1(C))C \subset f(f^{-1}(C))。

2. 解き方の手順

(1) ff が全射ならば、f−1(f(A))⊂Af^{-1}(f(A)) \subset A。
これは正しくない。反例を示す。
X={1,2}X = \{1, 2\}、 Y={3}Y = \{3\}、A={1,2}A = \{1, 2\}、f(1)=3f(1) = 3, f(2)=3f(2) = 3 とする。
このとき、ff は全射である。
f(A)={3}f(A) = \{3\}
f−1(f(A))=f−1({3})={1,2}=Af^{-1}(f(A)) = f^{-1}(\{3\}) = \{1, 2\} = A
この場合、f−1(f(A))=Af^{-1}(f(A)) = A となり、f−1(f(A))⊂Af^{-1}(f(A)) \subset A は成立する。
しかし、A⊊XA \subsetneq Xとして、A={1}A = \{1\}、f(1)=3f(1) = 3, f(2)=3f(2) = 3 とする。
f(A)={3}f(A) = \{3\}
f−1(f(A))=f−1({3})={1,2}f^{-1}(f(A)) = f^{-1}(\{3\}) = \{1, 2\}
このとき、f−1(f(A))={1,2}f^{-1}(f(A)) = \{1, 2\} であるが、A={1}A = \{1\} より、f−1(f(A))⊂Af^{-1}(f(A)) \subset A は成立しない。
よって、反例が存在するため、ff が全射ならば、f−1(f(A))⊂Af^{-1}(f(A)) \subset A は正しくない。
(2) ff が単射ならば、f−1(f(A))⊂Af^{-1}(f(A)) \subset A。
これは正しい。
x∈f−1(f(A))x \in f^{-1}(f(A)) とする。
これは、f(x)∈f(A)f(x) \in f(A) を意味する。
よって、ある a∈Aa \in A が存在して、f(x)=f(a)f(x) = f(a) が成り立つ。
ff は単射なので、x=ax = a である。
したがって、x∈Ax \in A となる。
よって、f−1(f(A))⊂Af^{-1}(f(A)) \subset A が成り立つ。
(3) ff が全射ならば、C⊂f(f−1(C))C \subset f(f^{-1}(C))。
これは正しい。
y∈Cy \in C とする。
ff は全射なので、ある x∈Xx \in X が存在して、f(x)=yf(x) = y となる。
この xx について、y=f(x)∈Cy = f(x) \in C なので、x∈f−1(C)x \in f^{-1}(C) である。
よって、y=f(x)∈f(f−1(C))y = f(x) \in f(f^{-1}(C)) となる。
したがって、C⊂f(f−1(C))C \subset f(f^{-1}(C)) が成り立つ。
(4) ff が単射ならば、C⊂f(f−1(C))C \subset f(f^{-1}(C))。
これは正しい。 ffが単射であることは関係ない。
y∈Cy \in Cとする。
f−1(C)={x∈X∣f(x)∈C}f^{-1}(C) = \{ x \in X \mid f(x) \in C \} である。
f(f−1(C))={y∈Y∣y=f(x),x∈f−1(C)}f(f^{-1}(C)) = \{ y \in Y \mid y = f(x), x \in f^{-1}(C) \}
={y∈Y∣y=f(x),f(x)∈C}= \{ y \in Y \mid y = f(x), f(x) \in C \}
よって、y∈Cy \in Cのとき、y=f(x)y = f(x)ならば、f(x)∈Cf(x) \in C である。
したがって、y∈f(f−1(C))y \in f(f^{-1}(C)) となる。
したがって、C⊂f(f−1(C))C \subset f(f^{-1}(C)) が成り立つ。

3. 最終的な答え

(1) 正しくない。
(2) 正しい。
(3) 正しい。
(4) 正しい。

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