$(ax + \frac{2}{a^2x})^{10}$ を展開したとき、$x^2$ の項の係数が560である。ただし、$a > 0$ とする。このとき、$a$ の値と、$\frac{1}{x^6}$ の項の係数を求める。

1. 問題の内容

$(ax + \frac{2}{a^2x})^{10}$ を展開したとき、$x^2$ の項の係数が560である。ただし、$a > 0$ とする。このとき、$a$ の値と、$\frac{1}{x^6}$ の項の係数を求める。

2. 解き方の手順

まず、二項定理を用いて $(ax + \frac{2}{a^2x})^{10}$ の一般項を求める。一般項は次のようになる。

${}_{10}C_r (ax)^{10-r} (\frac{2}{a^2x})^r = {}_{10}C_r a^{10-r} x^{10-r} \frac{2^r}{a^{2r} x^r} = {}_{10}C_r a^{10-3r} 2^r x^{10-2r}$

$x^2$ の項の係数が560なので、$x^{10-2r} = x^2$ より、$10-2r = 2$ である。

$2r = 8$ なので、$r = 4$。

したがって、$x^2$ の項の係数は ${}_{10}C_4 a^{10-3(4)} 2^4 = {}_{10}C_4 a^{-2} 2^4$ である。

${}_{10}C_4 = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 10 \cdot 3 \cdot 7 = 210$

よって、$210 \cdot a^{-2} \cdot 16 = 560$。

$\frac{210 \cdot 16}{a^2} = 560$

$a^2 = \frac{210 \cdot 16}{560} = \frac{21 \cdot 16}{56} = \frac{3 \cdot 16}{8} = 3 \cdot 2 = 6$

$a = \sqrt{6}$ (ただし、$a > 0$)

次に、$\frac{1}{x^6}$ の項の係数を求める。

$x^{10-2r} = \frac{1}{x^6} = x^{-6}$ より、$10-2r = -6$ である。

$2r = 16$ なので、$r = 8$。

$\frac{1}{x^6}$ の項の係数は ${}_{10}C_8 a^{10-3(8)} 2^8 = {}_{10}C_8 a^{-14} 2^8$ である。

${}_{10}C_8 = {}_{10}C_2 = \frac{10 \cdot 9}{2 \cdot 1} = 45$

$a = \sqrt{6}$ なので、

$45 (\sqrt{6})^{-14} 2^8 = 45 (6)^{-7} 2^8 = 45 \cdot \frac{2^8}{6^7} = 45 \cdot \frac{2^8}{2^7 \cdot 3^7} = 45 \cdot \frac{2}{3^7} = 45 \cdot \frac{2}{2187} = \frac{90}{2187} = \frac{10}{243}$

3. 最終的な答え

$a = \sqrt{6}$

$\frac{1}{x^6}$ の項の係数は $\frac{10}{243}$