与えられた4つの2次不等式が、すべての実数 $x$ について成り立つような定数 $k$ の値の範囲を求める問題です。 (1) $-x^2 + 2x + k < 0$ (2) $-x^2 + 2x + k \le 0$ (3) $kx^2 + 6x + k + 8 > 0$ (4) $kx^2 + 6x + k + 8 < 0$

1. 問題の内容

与えられた4つの2次不等式が、すべての実数 $x$ について成り立つような定数 $k$ の値の範囲を求める問題です。

(1) $-x^2 + 2x + k < 0$

(2) $-x^2 + 2x + k \le 0$

(3) $kx^2 + 6x + k + 8 > 0$

(4) $kx^2 + 6x + k + 8 < 0$

2. 解き方の手順

(1) $-x^2 + 2x + k < 0$

$x^2 - 2x - k > 0$ と変形します。

すべての実数 $x$ についてこの不等式が成り立つためには、2次関数のグラフが常に $x$ 軸より上にある必要があります。

そのため、判別式 $D < 0$ である必要があります。

$D = (-2)^2 - 4(1)(-k) = 4 + 4k < 0$

$4k < -4$

$k < -1$

(2) $-x^2 + 2x + k \le 0$

$x^2 - 2x - k \ge 0$ と変形します。

すべての実数 $x$ についてこの不等式が成り立つためには、2次関数のグラフが常に $x$ 軸より上にあるか、$x$ 軸と接する必要があります。

そのため、判別式 $D \le 0$ である必要があります。

$D = (-2)^2 - 4(1)(-k) = 4 + 4k \le 0$

$4k \le -4$

$k \le -1$

(3) $kx^2 + 6x + k + 8 > 0$

まず、$k = 0$ のときを考えます。

$6x + 8 > 0$ となり、これはすべての $x$ について成り立つわけではありません。

次に、$k \neq 0$ のときを考えます。

すべての実数 $x$ についてこの不等式が成り立つためには、2次関数のグラフが常に $x$ 軸より上にある必要があります。

そのため、$k > 0$ かつ判別式 $D < 0$ である必要があります。

$D = 6^2 - 4(k)(k+8) = 36 - 4k^2 - 32k < 0$

$4k^2 + 32k - 36 > 0$

$k^2 + 8k - 9 > 0$

$(k+9)(k-1) > 0$

よって、$k < -9$ または $k > 1$

$k > 0$ より、$k > 1$

(4) $kx^2 + 6x + k + 8 < 0$

まず、$k=0$のときを考えます。

$6x+8<0$ となり、これはすべての $x$ について成り立つわけではありません。

次に、$k \neq 0$ のときを考えます。

すべての実数 $x$ についてこの不等式が成り立つためには、2次関数のグラフが常に $x$ 軸より下にある必要があります。

そのため、$k < 0$ かつ判別式 $D < 0$ である必要があります。

$D = 6^2 - 4(k)(k+8) = 36 - 4k^2 - 32k < 0$

$4k^2 + 32k - 36 > 0$

$k^2 + 8k - 9 > 0$

$(k+9)(k-1) > 0$

よって、$k < -9$ または $k > 1$

$k < 0$ より、$k < -9$

3. 最終的な答え

(1) $k < -1$

(2) $k \le -1$

(3) $k > 1$

(4) $k < -9$