$\sum_{k=1}^{n} (3k^2 - 7k + 4)$ を求める問題です。

1. 問題の内容

$\sum_{k=1}^{n} (3k^2 - 7k + 4)$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、シグマの性質を利用して、式を分解します。

$\sum_{k=1}^{n} (3k^2 - 7k + 4) = 3\sum_{k=1}^{n} k^2 - 7\sum_{k=1}^{n} k + \sum_{k=1}^{n} 4$

次に、$\sum_{k=1}^{n} k^2$, $\sum_{k=1}^{n} k$, $\sum_{k=1}^{n} 4$ をそれぞれ求めます。

$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$

$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{1}{2}n(n+1)$

$\sum_{k=1}^{n} 4 = 4n$

これらの結果を元の式に代入します。

$3\sum_{k=1}^{n} k^2 - 7\sum_{k=1}^{n} k + \sum_{k=1}^{n} 4 = 3 \cdot \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1) - 7 \cdot \frac{1}{2}n(n+1) + 4n$

$= \frac{1}{2}n(n+1)(2n+1) - \frac{7}{2}n(n+1) + 4n$

$= \frac{1}{2}n[(n+1)(2n+1) - 7(n+1) + 8]$

$= \frac{1}{2}n[2n^2 + 3n + 1 - 7n - 7 + 8]$

$= \frac{1}{2}n[2n^2 - 4n + 2]$

$= n(n^2 - 2n + 1)$

$= n(n-1)^2$

3. 最終的な答え

$n(n-1)^2$