二次方程式 $x^2 - 2ax + 2a^2 - 5 = 0$ が、$1$ より大きい相異なる $2$ つの実数解を持つような定数 $a$ の値の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

二次方程式 $x^2 - 2ax + 2a^2 - 5 = 0$ が、$1$ より大きい相異なる $2$ つの実数解を持つような定数 $a$ の値の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

二次関数 $f(x) = x^2 - 2ax + 2a^2 - 5$ とおきます。この二次方程式が $1$ より大きい相異なる $2$ つの実数解を持つための条件は、以下の3つです。

(1) 判別式 $D > 0$ (異なる2つの実数解を持つ条件)

(2) 軸 $x = a > 1$ (軸が1より大きい条件)

(3) $f(1) > 0$ ($x=1$ のとき正の値をとる条件)

まず判別式 $D$ を計算します。

$D = (-2a)^2 - 4(1)(2a^2 - 5) = 4a^2 - 8a^2 + 20 = -4a^2 + 20$

(1) $D > 0$ より

$-4a^2 + 20 > 0$

$4a^2 < 20$

$a^2 < 5$

$-\sqrt{5} < a < \sqrt{5}$

(2) 軸 $a > 1$

(3) $f(1) > 0$ より

$f(1) = 1^2 - 2a(1) + 2a^2 - 5 > 0$

$2a^2 - 2a - 4 > 0$

$a^2 - a - 2 > 0$

$(a - 2)(a + 1) > 0$

$a < -1$ または $a > 2$

(1), (2), (3) の条件をすべて満たす $a$ の範囲を求めます。

$-\sqrt{5} < a < \sqrt{5}$ ($-\sqrt{5} \approx -2.236$, $\sqrt{5} \approx 2.236$)

$a > 1$

$a < -1$ または $a > 2$

数直線を書いて確認すると、$2 < a < \sqrt{5}$となります。

3. 最終的な答え

$2 < a < \sqrt{5}$