## 問題の内容

## 問題の内容

問題は以下の2つの数列の和を求めるものです。

(1) $\sum_{k=1}^{n} 3^{k-1}$

(2) $\sum_{k=1}^{n-1} 2^{k}$

## 解き方の手順

(1) $\sum_{k=1}^{n} 3^{k-1}$

これは初項1、公比3の等比数列の初項から第n項までの和です。等比数列の和の公式を使うと、

$S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r-1}$

ここで、$a = 1$, $r = 3$なので、

$S_n = \frac{1(3^n - 1)}{3-1} = \frac{3^n - 1}{2} = \frac{1}{2}(3^n - 1)$

(2) $\sum_{k=1}^{n-1} 2^{k}$

これは初項2、公比2の等比数列の初項から第(n-1)項までの和です。等比数列の和の公式を使うと、

$S_{n-1} = \frac{a(r^{n-1} - 1)}{r-1}$

ここで、$a = 2$, $r = 2$なので、

$S_{n-1} = \frac{2(2^{n-1} - 1)}{2-1} = \frac{2(2^{n-1} - 1)}{1} = 2(2^{n-1} - 1) = 2^n - 2$

## 最終的な答え

(1) $\sum_{k=1}^{n} 3^{k-1} = \frac{1}{2}(3^n - 1)$

(2) $\sum_{k=1}^{n-1} 2^{k} = 2^n - 2$