与えられた分数式 $\frac{3x^2+5x-2}{x^3+8}$ をできるだけ簡略化してください。

1. 問題の内容

与えられた分数式 $\frac{3x^2+5x-2}{x^3+8}$ をできるだけ簡略化してください。

2. 解き方の手順

まず、分子 $3x^2+5x-2$ を因数分解します。

$3x^2+5x-2 = (3x-1)(x+2)$

次に、分母 $x^3+8$ を因数分解します。これは $x^3 + 2^3$ なので、和の立方公式 $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$ を利用します。

$x^3+8 = (x+2)(x^2-2x+4)$

したがって、与えられた式は次のようになります。

$\frac{3x^2+5x-2}{x^3+8} = \frac{(3x-1)(x+2)}{(x+2)(x^2-2x+4)}$

$x+2$ で約分すると、次のようになります。

$\frac{(3x-1)(x+2)}{(x+2)(x^2-2x+4)} = \frac{3x-1}{x^2-2x+4}$

3. 最終的な答え

$\frac{3x-1}{x^2-2x+4}$