## 1. 問題の内容

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1. 問題の内容

与えられた漸化式によって定義される数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める問題、および、数列の和 $S_n$ が与えられたときに一般項 $a_n$ を求める問題です。

1. $a_1 = 4, \ a_{n+1} = 4a_n - 2^{n+1}$

2. $a_1 = 1, \ a_{n+1} = \frac{3a_n}{6a_n+1}$

3. $a_1 = -2, \ a_{n+1} = -3a_n - 4n + 3$

4. $a_1 = 1, \ a_{n+1} = 2a_n^2$

5. $S_n = 2a_n + n$ のとき、$a_n$ を $n$ で表す

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2. 解き方の手順

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1. $a_1 = 4, \ a_{n+1} = 4a_n - 2^{n+1}$**

* 漸化式を $2^{n+1}$ で割ります。

$$\frac{a_{n+1}}{2^{n+1}} = 2\frac{a_n}{2^n} - 1$$

* $b_n = \frac{a_n}{2^n}$ とおくと、$b_{n+1} = 2b_n - 1$ となります。

* この漸化式は $b_{n+1} - 1 = 2(b_n - 1)$ と変形できます。

* $c_n = b_n - 1$ とおくと、$c_{n+1} = 2c_n$ となり、数列 $\{c_n\}$ は公比2の等比数列です。

* $c_1 = b_1 - 1 = \frac{a_1}{2^1} - 1 = \frac{4}{2} - 1 = 1$ なので、$c_n = 1 \cdot 2^{n-1} = 2^{n-1}$ となります。

* $b_n = c_n + 1 = 2^{n-1} + 1$ なので、$a_n = 2^n b_n = 2^n (2^{n-1} + 1) = 2^{2n-1} + 2^n$ となります。

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2. $a_1 = 1, \ a_{n+1} = \frac{3a_n}{6a_n+1}$**

* 漸化式の逆数をとります。

$$\frac{1}{a_{n+1}} = \frac{6a_n + 1}{3a_n} = 2 + \frac{1}{3a_n}$$

* $b_n = \frac{1}{a_n}$ とおくと、$b_{n+1} = 2 + \frac{1}{3}b_n$ となります。

* この漸化式は $b_{n+1} - 3 = \frac{1}{3}(b_n - 3)$ と変形できます。

* $c_n = b_n - 3$ とおくと、$c_{n+1} = \frac{1}{3} c_n$ となり、数列 $\{c_n\}$ は公比 $\frac{1}{3}$ の等比数列です。

* $c_1 = b_1 - 3 = \frac{1}{a_1} - 3 = \frac{1}{1} - 3 = -2$ なので、$c_n = -2 \cdot (\frac{1}{3})^{n-1} = -2 \cdot 3^{1-n}$ となります。

* $b_n = c_n + 3 = 3 - 2 \cdot 3^{1-n}$ なので、$a_n = \frac{1}{b_n} = \frac{1}{3 - 2 \cdot 3^{1-n}} = \frac{3^{n-1}}{3^n - 2}$ となります。

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3. $a_1 = -2, \ a_{n+1} = -3a_n - 4n + 3$**

* $a_{n+1} + pn+q = -3(a_n + p(n-1)+q)$ となる $p, q$ を求めます。

* $a_{n+1} + pn + q = -3a_n -3p(n-1) -3q = -3a_n -3pn+3p -3q$

* $pn+q = -4n+3 -3pn+3p -3q$

* $4pn+4q= -4n+3+3p$

* $4p = -4, 4q = 3+3p$

* $p = -1, 4q = 3-3 = 0, q=0$

* $a_{n+1} - n = -3(a_n -(n-1))$

* $b_n = a_n -n+1$

* $b_{n+1} = a_{n+1} - (n+1)+1 = a_{n+1}-n$

* $b_{n+1} = -3(b_n)$

* $b_1 = a_1-1+1 = a_1 = -2$

* $b_n = -2(-3)^{n-1}$

* $a_n = b_n+n-1 = -2(-3)^{n-1}+n-1$

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4. $a_1 = 1, \ a_{n+1} = 2a_n^2$**

* 両辺の対数をとります。$\log_2$ を底とする対数をとると、$\log_2 a_{n+1} = \log_2 2a_n^2 = 1 + 2\log_2 a_n$ となります。

* $b_n = \log_2 a_n$ とおくと、$b_{n+1} = 1 + 2b_n$ となります。

* この漸化式は $b_{n+1} + 1 = 2(b_n + 1)$ と変形できます。

* $c_n = b_n + 1$ とおくと、$c_{n+1} = 2c_n$ となり、数列 $\{c_n\}$ は公比2の等比数列です。

* $c_1 = b_1 + 1 = \log_2 a_1 + 1 = \log_2 1 + 1 = 0 + 1 = 1$ なので、$c_n = 1 \cdot 2^{n-1} = 2^{n-1}$ となります。

* $b_n = c_n - 1 = 2^{n-1} - 1$ なので、$a_n = 2^{b_n} = 2^{2^{n-1} - 1}$ となります。

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5. $S_n = 2a_n + n$**

* $n \ge 2$ のとき、$S_n - S_{n-1} = a_n$ です。

* $S_n = 2a_n + n$ より、$S_{n-1} = 2a_{n-1} + (n-1)$ なので、$a_n = (2a_n + n) - (2a_{n-1} + n - 1) = 2a_n - 2a_{n-1} + 1$ となります。

* よって、$a_n = 2a_{n-1} - 1$ が得られます。

* $a_1 = S_1 = 2a_1 + 1$ より、$a_1 = -1$ となります。

* 漸化式 $a_n = 2a_{n-1} - 1$ は $a_n - 1 = 2(a_{n-1} - 1)$ と変形できます。

* $b_n = a_n - 1$ とおくと、$b_n = 2b_{n-1}$ となり、数列 $\{b_n\}$ は公比2の等比数列です。

* $b_1 = a_1 - 1 = -1 - 1 = -2$ なので、$b_n = -2 \cdot 2^{n-1} = -2^n$ となります。

* $a_n = b_n + 1 = -2^n + 1$ となります。

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3. 最終的な答え

1. $a_n = 2^{2n-1} + 2^n$

2. $a_n = \frac{3^{n-1}}{3^n - 2}$

3. $a_n = -2(-3)^{n-1}+n-1$

4. $a_n = 2^{2^{n-1} - 1}$

5. $a_n = -2^n + 1$