数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ が、一般項 $a_n$ を用いて $S_n = 2a_n + n$ と表されるとき、一般項 $a_n$ を $n$ で表せ。

## 問題5

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ が、一般項 $a_n$ を用いて $S_n = 2a_n + n$ と表されるとき、一般項 $a_n$ を $n$ で表せ。

2. 解き方の手順

$S_n = 2a_n + n$ という関係式から $a_n$ を求める。

* $n \geq 2$ のとき、$S_{n-1} = 2a_{n-1} + (n-1)$ が成り立つ。

* $S_n - S_{n-1} = a_n$ であるから、$S_n = a_n + S_{n-1}$ が成り立つ。

* $a_n = S_n - S_{n-1} = (2a_n + n) - (2a_{n-1} + n - 1)$

$a_n = 2a_n + n - 2a_{n-1} - n + 1$

$0 = a_n - 2a_{n-1} + 1$

$a_n = 2a_{n-1} - 1$

* $a_1$ は、$S_1 = 2a_1 + 1$ より、$a_1 = S_1 = a_1$ であるから、$a_1 = 2a_1 + 1$

よって $a_1 = -1$

* $a_n = 2a_{n-1} - 1$ は $a_n - 1 = 2a_{n-1} - 2 = 2(a_{n-1} - 1)$ と変形できる。

* $b_n = a_n - 1$ とおくと、$b_n = 2b_{n-1}$ となる。

* $b_1 = a_1 - 1 = -1 - 1 = -2$ であるから、$b_n = -2 \cdot 2^{n-1} = -2^n$ となる。

* したがって、$a_n = b_n + 1 = -2^n + 1$ となる。

3. 最終的な答え

$a_n = 1 - 2^n$