与えられた問題は、$\sum_{k=1}^{n} (k^2 - 4k)$ を計算することです。

1. 問題の内容

与えられた問題は、$\sum_{k=1}^{n} (k^2 - 4k)$ を計算することです。

2. 解き方の手順

まず、シグマ記号を分解します。

$\sum_{k=1}^{n} (k^2 - 4k) = \sum_{k=1}^{n} k^2 - \sum_{k=1}^{n} 4k$

次に、定数をシグマの外に出します。

$\sum_{k=1}^{n} k^2 - 4 \sum_{k=1}^{n} k$

$\sum_{k=1}^{n} k^2$ と $\sum_{k=1}^{n} k$ の公式を適用します。

$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$

これらの公式を代入します。

$\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - 4 \cdot \frac{n(n+1)}{2} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - 2n(n+1)$

共通因数 $n(n+1)$ で括ります。

$n(n+1) \left( \frac{2n+1}{6} - 2 \right) = n(n+1) \left( \frac{2n+1 - 12}{6} \right) = n(n+1) \left( \frac{2n-11}{6} \right)$

整理して、最終的な形にします。

$\frac{n(n+1)(2n-11)}{6}$

3. 最終的な答え

$\frac{n(n+1)(2n-11)}{6}$