定数 $a$ を用いた以下の不等式について、それぞれの解を求める問題です。 (1) $a \neq 1$ のとき、$ax + 2 > x - 3$ を解け。 (2) $ax + 2 > 0$ を解け。 (3) $ax + a > a^2 + x$ を解け。 (4) $ax + a + 3 > 0$ の解が $x < 2$ であるとき、$a$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

定数 $a$ を用いた以下の不等式について、それぞれの解を求める問題です。

(1) $a \neq 1$ のとき、$ax + 2 > x - 3$ を解け。

(2) $ax + 2 > 0$ を解け。

(3) $ax + a > a^2 + x$ を解け。

(4) $ax + a + 3 > 0$ の解が $x < 2$ であるとき、$a$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $ax + 2 > x - 3$ を解く。

まず、$x$ の項を左辺に、定数項を右辺に移行する。

$ax - x > -3 - 2$

$(a - 1)x > -5$

$a \neq 1$ より、$a - 1 \neq 0$ であるから、$a - 1$ で割ることができる。

$a - 1 > 0$ つまり $a > 1$ のとき、$x > \frac{-5}{a - 1}$

$a - 1 < 0$ つまり $a < 1$ のとき、$x < \frac{-5}{a - 1}$

(2) $ax + 2 > 0$ を解く。

$ax > -2$

$a > 0$ のとき、$x > \frac{-2}{a}$

$a < 0$ のとき、$x < \frac{-2}{a}$

$a = 0$ のとき、$0x > -2$ となり、これは常に成り立つので、解はすべての実数となる。

(3) $ax + a > a^2 + x$ を解く。

$ax - x > a^2 - a$

$(a - 1)x > a(a - 1)$

$a > 1$ のとき、$x > \frac{a(a - 1)}{a - 1} = a$

$a < 1$ のとき、$x < \frac{a(a - 1)}{a - 1} = a$

$a = 1$ のとき、$0x > 0$ となり、これは常に成り立たないので、解なしとなる。

(4) $ax + a + 3 > 0$ の解が $x < 2$ であるとき、$a$ の値を求める。

$ax > -a - 3$

解が $x < 2$ となるのは、$a < 0$ のときである。このとき、

$x < \frac{-a - 3}{a}$

これが $x < 2$ と一致するので、

$\frac{-a - 3}{a} = 2$

$-a - 3 = 2a$

$-3 = 3a$

$a = -1$

$a = -1 < 0$ を満たすので、これは解として適切である。

3. 最終的な答え

(1) $a > 1$ のとき、$x > \frac{-5}{a - 1}$、$a < 1$ のとき、$x < \frac{-5}{a - 1}$

(2) $a > 0$ のとき、$x > \frac{-2}{a}$、$a < 0$ のとき、$x < \frac{-2}{a}$、$a = 0$ のとき、すべての実数

(3) $a > 1$ のとき、$x > a$、$a < 1$ のとき、$x < a$、$a = 1$ のとき、解なし

(4) $a = -1$