与えられた条件 $p$: $|x+y| < |x| + |y|$ と $q$: $xy < 0$ の関係について考察する問題です。

1. 問題の内容

与えられた条件 $p$: $|x+y| < |x| + |y|$ と $q$: $xy < 0$ の関係について考察する問題です。

2. 解き方の手順

条件 $p$: $|x+y| < |x| + |y|$ が成り立つのは、 $x$ と $y$ が異符号の時です。

なぜなら、$|x+y| = |x| + |y|$ が成り立つのは $x$ と $y$ が同符号の時、またはどちらか一方が0の時です。

したがって、$|x+y| < |x| + |y|$ が成り立つのは、$x$ と $y$ が異符号の時のみです。これは、$xy < 0$ と同値です。

$q$は、$xy < 0$を意味するので、$x$ と $y$ は異符号です。

したがって、$p$ と $q$ は同値です。

3. 最終的な答え

$p$ と $q$ は同値である。