与えられた命題 $p$ と $q$ の関係を考察する問題です。 命題 $p$ は「$|x+y| = |x| + |y|$」であり、命題 $q$ は「$xy \ge 0$」です。 これらの命題の真偽を調べ、必要であれば反例を挙げることで、命題間の関係を明らかにします。

1. 問題の内容

与えられた命題 $p$ と $q$ の関係を考察する問題です。

命題 $p$ は「$|x+y| = |x| + |y|$」であり、命題 $q$ は「$xy \ge 0$」です。

これらの命題の真偽を調べ、必要であれば反例を挙げることで、命題間の関係を明らかにします。

2. 解き方の手順

まず、$|x+y| = |x| + |y|$ が成り立つ条件を考えます。絶対値の性質から、$x+y$ が正または0の場合、$|x+y| = x+y$となり、負の場合、$|x+y| = -(x+y)$ となります。

同様に、$|x|$は、$x \ge 0$なら$x$、$x<0$なら$-x$となり、$|y|$は、$y \ge 0$なら$y$、$y<0$なら$-y$となります。

$|x+y| = |x| + |y|$が成り立つのは、$x$と$y$が同符号であるか、少なくとも一方が0の場合です。 これは、$xy \ge 0$と同値です。

$xy \ge 0$は、$x$と$y$が同符号（両方正または両方負）か、少なくとも一方が0であることを意味します。

したがって、$|x+y| = |x| + |y|$ が成り立つための必要十分条件は $xy \ge 0$ であると言えます。

3. 最終的な答え

$|x+y| = |x| + |y|$ が成り立つことと、$xy \ge 0$ が成り立つことは同値である。