$p$ は $xy < 0$ という条件を表し、$q$ は $\frac{x}{y} + \frac{y}{x} < 0$ という条件を表します。$p$と$q$の関係について考察する問題であると考えられます。

1. 問題の内容

$p$ は $xy < 0$ という条件を表し、$q$ は $\frac{x}{y} + \frac{y}{x} < 0$ という条件を表します。$p$と$q$の関係について考察する問題であると考えられます。

2. 解き方の手順

条件 $q$ を変形して考えます。

$\frac{x}{y} + \frac{y}{x} < 0$

両辺に $xy$ をかけます。ただし、$xy$ の符号によって不等号の向きが変わることに注意します。

場合1: $xy > 0$ のとき

$x^2 + y^2 < 0$

実数 $x, y$ に対して、$x^2$ と $y^2$ は常に非負であるため、$x^2 + y^2 \ge 0$ となります。したがって、$x^2 + y^2 < 0$ を満たす $x, y$ は存在しません。

場合2: $xy < 0$ のとき

$x^2 + y^2 > 0$

$x^2 + y^2$ は常に非負であり、もし $x^2 + y^2 = 0$ ならば $x = 0$ かつ $y = 0$ となります。しかし、$xy < 0$ という条件から $x$ と $y$ は同時に $0$ になることはありません。したがって、$x^2 + y^2 > 0$ は常に成り立ちます。

$xy < 0$ のとき、$x^2 + y^2 > 0$ は常に成り立つので、$\frac{x}{y} + \frac{y}{x} < 0$ が成立します。

結論として、$p$ ( $xy < 0$ ) ならば $q$ ( $\frac{x}{y} + \frac{y}{x} < 0$ ) が成り立ちます。

逆に、$q$ ( $\frac{x}{y} + \frac{y}{x} < 0$ ) ならば $p$ ( $xy < 0$ ) が成り立ちます。

3. 最終的な答え

$p$ は $q$ であるための必要十分条件。