命題 $p: |x+y| = |x-y|$ と $q: xy=0$ が与えられています。命題pとqの関係性を考察する問題です。

1. 問題の内容

命題 $p: |x+y| = |x-y|$ と $q: xy=0$ が与えられています。命題pとqの関係性を考察する問題です。

2. 解き方の手順

$|x+y| = |x-y|$ の両辺を2乗します。

$(x+y)^2 = (x-y)^2$

$x^2 + 2xy + y^2 = x^2 - 2xy + y^2$

$4xy = 0$

$xy = 0$

これは命題qと同じです。したがって、命題pが真であれば、命題qも真です。つまり、$p \implies q$が成り立ちます。

逆に、命題$q: xy=0$が真の場合、すなわち$xy=0$ならば、$4xy=0$なので、$(x+y)^2 = x^2+2xy+y^2 = x^2+y^2$、$(x-y)^2 = x^2-2xy+y^2 = x^2+y^2$。よって$(x+y)^2 = (x-y)^2$なので、$|x+y| = |x-y|$となり、命題pも真です。つまり、$q \implies p$が成り立ちます。

以上より、$p \iff q$なので、pとqは同値です。

3. 最終的な答え

pとqは同値である。