必要条件、十分条件の問題です。 (1) 四角形ABCDが長方形であることは、四角形ABCDが平行四辺形であるための条件は何か？ (2) $a>b$ は、$2a+1>2b+1$ であるための条件は何か？ (3) 積 $mn$ が偶数であることは、$m$ が偶数であるための条件は何か？ ただし、$a, b$ は実数、$m, n$ は自然数です。

1. 問題の内容

必要条件、十分条件の問題です。

(1) 四角形ABCDが長方形であることは、四角形ABCDが平行四辺形であるための条件は何か？

(2) $a>b$ は、$2a+1>2b+1$ であるための条件は何か？

(3) 積 $mn$ が偶数であることは、$m$ が偶数であるための条件は何か？

ただし、$a, b$ は実数、$m, n$ は自然数です。

2. 解き方の手順

(1) 四角形ABCDが長方形である $\Rightarrow$ 四角形ABCDが平行四辺形である。これは真である。

四角形ABCDが平行四辺形である $\Rightarrow$ 四角形ABCDが長方形である。これは偽である（平行四辺形は長方形とは限らない）。

したがって、長方形であることは、平行四辺形であるための必要条件である。

(2) $a>b \Rightarrow 2a+1 > 2b+1$。これは真である。なぜなら、$a>b$ の両辺に2をかけて$2a>2b$。両辺に1を足して$2a+1>2b+1$。

$2a+1 > 2b+1 \Rightarrow a>b$。これは真である。なぜなら、$2a+1 > 2b+1$ の両辺から1を引いて$2a>2b$。両辺を2で割って$a>b$。

したがって、$a>b$ は、$2a+1>2b+1$ であるための必要十分条件である。

(3) $mn$ が偶数である $\Rightarrow$ $m$ が偶数である。これは偽である。なぜなら、$m$ が奇数で $n$ が偶数の場合、$mn$ は偶数だが、$m$ は偶数ではない。

$m$ が偶数である $\Rightarrow$ $mn$ が偶数である。これは真である。なぜなら、$m = 2k$ とすると、$mn = (2k)n = 2kn$ となり、$mn$ は偶数である。

したがって、$mn$ が偶数であることは、$m$ が偶数であるための必要条件である。

3. 最終的な答え

(1) 必要条件

(2) 必要十分条件

(3) 必要条件