与えられた数列の和を求める問題です。数列は $3 \cdot 2 + 6 \cdot 3 + 9 \cdot 4 + \dots + 3n(n+1)$ で表されます。

1. 問題の内容

与えられた数列の和を求める問題です。数列は $3 \cdot 2 + 6 \cdot 3 + 9 \cdot 4 + \dots + 3n(n+1)$ で表されます。

2. 解き方の手順

数列の一般項を $a_k$ とすると、$a_k = 3k(k+1)$ と表せます。

したがって、求める和は $\sum_{k=1}^{n} a_k = \sum_{k=1}^{n} 3k(k+1)$ となります。

$\sum_{k=1}^{n} 3k(k+1) = 3\sum_{k=1}^{n} (k^2 + k) = 3\left(\sum_{k=1}^{n} k^2 + \sum_{k=1}^{n} k\right)$ と変形できます。

$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$

$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

これらの公式を代入して、

$3\left(\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \frac{n(n+1)}{2}\right) = 3\left(\frac{n(n+1)(2n+1) + 3n(n+1)}{6}\right)$

$= \frac{3n(n+1)(2n+1+3)}{6} = \frac{3n(n+1)(2n+4)}{6} = \frac{n(n+1)(2n+4)}{2} = \frac{2n(n+1)(n+2)}{2} = n(n+1)(n+2)$

3. 最終的な答え

$n(n+1)(n+2)$