2次不等式 $x^2 + 2x + m(m-4) \ge 0$ が、与えられた $x$ の範囲で常に成り立つような定数 $m$ の値の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

2次不等式 $x^2 + 2x + m(m-4) \ge 0$ が、与えられた $x$ の範囲で常に成り立つような定数 $m$ の値の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) $x \le 1$ のとき

関数 $f(x) = x^2 + 2x + m(m-4)$ とおきます。この関数は下に凸な放物線なので、$x \le 1$ で常に $f(x) \ge 0$ となるためには、$x=1$ で $f(x) \ge 0$ であれば良いです。

$f(1) = 1^2 + 2(1) + m(m-4) \ge 0$

$1 + 2 + m^2 - 4m \ge 0$

$m^2 - 4m + 3 \ge 0$

$(m-1)(m-3) \ge 0$

よって、$m \le 1$ または $m \ge 3$。

(2) $1 \le x \le 4$ のとき

$f(x) = x^2 + 2x + m(m-4)$ の頂点の $x$ 座標は $x = -1$ です。

この頂点は区間 $1 \le x \le 4$ の外にあるので、この範囲での $f(x)$ の最小値は $f(1)$ または $f(4)$ のいずれかです。

$f(1) = 1^2 + 2(1) + m(m-4) = m^2 - 4m + 3$

$f(4) = 4^2 + 2(4) + m(m-4) = m^2 - 4m + 24$

$1 \le x \le 4$ で $f(x) \ge 0$ となるためには、$f(1) \ge 0$ かつ $f(4) \ge 0$ であれば良いです。$f(4) = m^2 - 4m + 24 = (m-2)^2 + 20 > 0$ なので、$f(1) \ge 0$ であれば十分です。

$f(1) = m^2 - 4m + 3 \ge 0$

$(m-1)(m-3) \ge 0$

よって、$m \le 1$ または $m \ge 3$。

(3) $4 \le x$ のとき

$f(x) = x^2 + 2x + m(m-4)$ とおきます。関数 $f(x)$ の頂点の $x$ 座標は $x = -1$ です。$4 \le x$ の範囲では、$x$ が増加するとともに $f(x)$ も増加します。

したがって、$x=4$ で $f(x) \ge 0$ であれば、この範囲で常に $f(x) \ge 0$ が成り立ちます。

$f(4) = 4^2 + 2(4) + m(m-4) \ge 0$

$16 + 8 + m^2 - 4m \ge 0$

$m^2 - 4m + 24 \ge 0$

$m^2 - 4m + 24 = (m-2)^2 + 20 \ge 0$ は常に成立します。

したがって、すべての実数 $m$ で条件を満たします。

3. 最終的な答え

(1) $m \le 1$ または $m \ge 3$

(2) $m \le 1$ または $m \ge 3$

(3) すべての実数