まず、与えられた2次関数を平方完成します。
y=−x2−2x+1=−(x2+2x)+1=−(x2+2x+1−1)+1=−(x+1)2+1+1=−(x+1)2+2 よって、この2次関数の頂点は (−1,2) であり、上に凸な放物線です。 次に、それぞれの定義域について、端点と頂点のx座標との関係を考慮して、最大値と最小値を求めます。
(1) 0≤x≤2 の場合 定義域の範囲内で x=−1 は含まれないため、端点の x=0 と x=2 での y の値を計算します。 x=0 のとき、y=−02−2(0)+1=1 x=2 のとき、y=−22−2(2)+1=−4−4+1=−7 したがって、最大値は 1 (x=0のとき)、最小値は −7 (x=2のとき)。 (2) −2≤x≤1 の場合 定義域の範囲内で x=−1 は含まれるため、頂点の y の値 2 は最大値の候補です。 端点の x=−2 と x=1 での y の値を計算します。 x=−2 のとき、y=−(−2)2−2(−2)+1=−4+4+1=1 x=1 のとき、y=−12−2(1)+1=−1−2+1=−2 したがって、最大値は 2 (x=−1のとき)、最小値は −2 (x=1のとき)。 (3) −4≤x≤−3 の場合 定義域の範囲内で x=−1 は含まれないため、端点の x=−4 と x=−3 での y の値を計算します。 x=−4 のとき、y=−(−4)2−2(−4)+1=−16+8+1=−7 x=−3 のとき、y=−(−3)2−2(−3)+1=−9+6+1=−2 したがって、最大値は −2 (x=−3のとき)、最小値は −7 (x=−4のとき)。 (4) −2≤x≤0 の場合 定義域の範囲内で x=−1 は含まれるため、頂点の y の値 2 は最大値の候補です。 端点の x=−2 と x=0 での y の値を計算します。 x=−2 のとき、y=−(−2)2−2(−2)+1=−4+4+1=1 x=0 のとき、y=−02−2(0)+1=1 したがって、最大値は 2 (x=−1のとき)、最小値は 1 (x=−2,0のとき)。 