2次不等式 $x^2 + 2x + m(m-4) \ge 0$ が与えられた範囲で常に成り立つような定数 $m$ の値の範囲を求める問題です。範囲は (1) $x \le 1$, (2) $1 \le x \le 4$, (3) $4 \le x$ の3つに分かれています。

1. 問題の内容

2次不等式 $x^2 + 2x + m(m-4) \ge 0$ が与えられた範囲で常に成り立つような定数 $m$ の値の範囲を求める問題です。範囲は (1) $x \le 1$, (2) $1 \le x \le 4$, (3) $4 \le x$ の3つに分かれています。

2. 解き方の手順

まず、$f(x) = x^2 + 2x + m(m-4)$ とおきます。$f(x) \ge 0$ が与えられた範囲で常に成り立つ条件を考えます。

(1) $x \le 1$ の場合

$x \le 1$ において、$f(x) \ge 0$ が常に成り立つための条件を考えます。

$f(x)$ は下に凸な放物線なので、$x \le 1$ で常に $f(x) \ge 0$ となるためには、$x=1$ で $f(x) \ge 0$ であれば良いです。

$f(1) = 1^2 + 2(1) + m(m-4) = 1 + 2 + m^2 - 4m = m^2 - 4m + 3$

$f(1) \ge 0$ より、

$m^2 - 4m + 3 \ge 0$

$(m-1)(m-3) \ge 0$

よって、$m \le 1$ または $m \ge 3$

(2) $1 \le x \le 4$ の場合

$1 \le x \le 4$ において、$f(x) \ge 0$ が常に成り立つための条件を考えます。

$f(x) = x^2 + 2x + m(m-4)$ を平方完成すると

$f(x) = (x+1)^2 - 1 + m^2 - 4m$

軸は $x=-1$ なので、範囲 $1 \le x \le 4$ において$f(x)$ は単調増加です。

したがって、$x=1$ で $f(x) \ge 0$ であれば、$1 \le x \le 4$ において常に $f(x) \ge 0$ が成り立ちます。

$f(1) = 1 + 2 + m(m-4) = m^2 - 4m + 3 \ge 0$

$(m-1)(m-3) \ge 0$

よって、$m \le 1$ または $m \ge 3$

(3) $4 \le x$ の場合

$4 \le x$ において、$f(x) \ge 0$ が常に成り立つための条件を考えます。

$f(4) = 4^2 + 2(4) + m(m-4) = 16 + 8 + m^2 - 4m = m^2 - 4m + 24$

$f(4) \ge 0$ より、

$m^2 - 4m + 24 \ge 0$

$(m-2)^2 - 4 + 24 \ge 0$

$(m-2)^2 + 20 \ge 0$

これは常に成り立ちます。軸は$x=-1$なので、$x \ge 4$の範囲では単調増加なので、$f(4) \ge 0$ が成り立てばよい。

3. 最終的な答え

(1) $m \le 1$ または $m \ge 3$

(2) $m \le 1$ または $m \ge 3$

(3) 全ての実数