問題139は、関数 $y = -x^2 - 2x + 1$ について、定義域をそれぞれ(1) $0 \leq x \leq 2$、(2) $-2 \leq x \leq 1$、(3) $-4 \leq x \leq -3$、(4) $-2 \leq x \leq 0$とした場合に、それぞれの最大値と最小値を求める問題です。

1. 問題の内容

問題139は、関数 $y = -x^2 - 2x + 1$ について、定義域をそれぞれ(1) $0 \leq x \leq 2$、(2) $-2 \leq x \leq 1$、(3) $-4 \leq x \leq -3$、(4) $-2 \leq x \leq 0$とした場合に、それぞれの最大値と最小値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数 $y = -x^2 - 2x + 1$ を平方完成します。

$y = -(x^2 + 2x) + 1 = -(x^2 + 2x + 1 - 1) + 1 = -(x+1)^2 + 1 + 1 = -(x+1)^2 + 2$

この関数は、上に凸な放物線であり、頂点の座標は $(-1, 2)$ です。

(1) $0 \leq x \leq 2$ の場合：

$x = 0$ のとき、$y = -(0+1)^2 + 2 = -1 + 2 = 1$

$x = 2$ のとき、$y = -(2+1)^2 + 2 = -9 + 2 = -7$

頂点は定義域外なので、最大値は $x = 0$ のときの $y = 1$ であり、最小値は $x = 2$ のときの $y = -7$ です。

(2) $-2 \leq x \leq 1$ の場合：

$x = -2$ のとき、$y = -(-2+1)^2 + 2 = -1 + 2 = 1$

$x = 1$ のとき、$y = -(1+1)^2 + 2 = -4 + 2 = -2$

頂点 $x = -1$ は定義域内にあり、$y = -(-1+1)^2 + 2 = 2$

よって、最大値は $x = -1$ のときの $y = 2$ であり、最小値は $x = 1$ のときの $y = -2$ です。

(3) $-4 \leq x \leq -3$ の場合：

$x = -4$ のとき、$y = -(-4+1)^2 + 2 = -9 + 2 = -7$

$x = -3$ のとき、$y = -(-3+1)^2 + 2 = -4 + 2 = -2$

頂点は定義域外なので、最大値は $x = -3$ のときの $y = -2$ であり、最小値は $x = -4$ のときの $y = -7$ です。

(4) $-2 \leq x \leq 0$ の場合：

$x = -2$ のとき、$y = -(-2+1)^2 + 2 = -1 + 2 = 1$

$x = 0$ のとき、$y = -(0+1)^2 + 2 = -1 + 2 = 1$

頂点 $x = -1$ は定義域内にあり、$y = -(-1+1)^2 + 2 = 2$

よって、最大値は $x = -1$ のときの $y = 2$ であり、最小値は $x = -2$ および $x = 0$ のときの $y = 1$ です。

3. 最終的な答え

(1) 最大値: 1, 最小値: -7

(2) 最大値: 2, 最小値: -2

(3) 最大値: -2, 最小値: -7

(4) 最大値: 2, 最小値: 1