$m \times n$ 行列 $A$ が与えられたとき、行列 $\begin{bmatrix} E_m & A \\ O & E_n \end{bmatrix}$ の $k$ 乗 $\begin{bmatrix} E_m & A \\ O & E_n \end{bmatrix}^k$ を求める。ここで $E_m$ は $m$ 次の単位行列、$E_n$ は $n$ 次の単位行列、$O$ は $n \times m$ の零行列である。

1. 問題の内容

$m \times n$ 行列 $A$ が与えられたとき、行列 $\begin{bmatrix} E_m & A \\ O & E_n \end{bmatrix}$ の $k$ 乗 $\begin{bmatrix} E_m & A \\ O & E_n \end{bmatrix}^k$ を求める。ここで $E_m$ は $m$ 次の単位行列、$E_n$ は $n$ 次の単位行列、$O$ は $n \times m$ の零行列である。

2. 解き方の手順

まず、$\begin{bmatrix} E_m & A \\ O & E_n \end{bmatrix}$ の2乗を計算してみる。

$\begin{bmatrix} E_m & A \\ O & E_n \end{bmatrix}^2 = \begin{bmatrix} E_m & A \\ O & E_n \end{bmatrix} \begin{bmatrix} E_m & A \\ O & E_n \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} E_m E_m + A O & E_m A + A E_n \\ O E_m + E_n O & O A + E_n E_n \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} E_m & A + A \\ O & E_n \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} E_m & 2A \\ O & E_n \end{bmatrix}$

次に、3乗を計算してみる。

$\begin{bmatrix} E_m & A \\ O & E_n \end{bmatrix}^3 = \begin{bmatrix} E_m & A \\ O & E_n \end{bmatrix} \begin{bmatrix} E_m & 2A \\ O & E_n \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} E_m E_m + A O & E_m (2A) + A E_n \\ O E_m + E_n O & O (2A) + E_n E_n \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} E_m & 2A + A \\ O & E_n \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} E_m & 3A \\ O & E_n \end{bmatrix}$

同様に考えると、$\begin{bmatrix} E_m & A \\ O & E_n \end{bmatrix}^k = \begin{bmatrix} E_m & kA \\ O & E_n \end{bmatrix}$ と推測できる。

これを数学的帰納法で証明する。

(1) $k=1$ のとき、$\begin{bmatrix} E_m & A \\ O & E_n \end{bmatrix}^1 = \begin{bmatrix} E_m & A \\ O & E_n \end{bmatrix}$ なので成立する。

(2) $k=l$ のとき、$\begin{bmatrix} E_m & A \\ O & E_n \end{bmatrix}^l = \begin{bmatrix} E_m & lA \\ O & E_n \end{bmatrix}$ が成立すると仮定する。

(3) $k=l+1$ のとき、

$\begin{bmatrix} E_m & A \\ O & E_n \end{bmatrix}^{l+1} = \begin{bmatrix} E_m & A \\ O & E_n \end{bmatrix}^l \begin{bmatrix} E_m & A \\ O & E_n \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} E_m & lA \\ O & E_n \end{bmatrix} \begin{bmatrix} E_m & A \\ O & E_n \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} E_m E_m + lA O & E_m A + lA E_n \\ O E_m + E_n O & O A + E_n E_n \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} E_m & A + lA \\ O & E_n \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} E_m & (l+1)A \\ O & E_n \end{bmatrix}$

したがって、$k=l+1$ のときも成立する。

以上より、数学的帰納法により、$\begin{bmatrix} E_m & A \\ O & E_n \end{bmatrix}^k = \begin{bmatrix} E_m & kA \\ O & E_n \end{bmatrix}$ が証明された。

3. 最終的な答え

$\begin{bmatrix} E_m & A \\ O & E_n \end{bmatrix}^k = \begin{bmatrix} E_m & kA \\ O & E_n \end{bmatrix}$