与えられた行列式の値を計算し、その結果が指定された式と等しいことを示す問題です。 (1) 行列式 $\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ x & a & a & a \\ x & y & b & b \\ x & y & z & c \end{vmatrix}$ が $-(x-a)(y-b)(z-c)$ に等しいことを示す。 (2) 行列式 $\begin{vmatrix} a & b & b & b \\ a & b & a & a \\ a & a & b & a \\ b & b & b & a \end{vmatrix}$ が $-(a-b)^4$ に等しいことを示す。

1. 問題の内容

与えられた行列式の値を計算し、その結果が指定された式と等しいことを示す問題です。

(1)

行列式

$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ x & a & a & a \\ x & y & b & b \\ x & y & z & c \end{vmatrix}$

が $-(x-a)(y-b)(z-c)$ に等しいことを示す。

(2)

行列式

$\begin{vmatrix} a & b & b & b \\ a & b & a & a \\ a & a & b & a \\ b & b & b & a \end{vmatrix}$

が $-(a-b)^4$ に等しいことを示す。

2. 解き方の手順

(1) の解き方:

まず、1列目から2列目、3列目、4列目を引きます。

$\begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ x & a-x & a-x & a-x \\ x & y-x & b-x & b-x \\ x & y-x & z-x & c-x \end{vmatrix}$

次に、1行目で余因子展開します。

$\begin{vmatrix} a-x & a-x & a-x \\ y-x & b-x & b-x \\ y-x & z-x & c-x \end{vmatrix}$

次に、1列目から2列目、3列目を引きます。

$\begin{vmatrix} a-x & 0 & 0 \\ y-x & b-y & b-y \\ y-x & z-y & c-y \end{vmatrix}$

次に、1行目で余因子展開します。

$(a-x) \begin{vmatrix} b-y & b-y \\ z-y & c-y \end{vmatrix}$

次に、2列目から1列目を引きます。

$(a-x) \begin{vmatrix} b-y & 0 \\ z-y & c-z \end{vmatrix}$

最後に、行列式を計算します。

$(a-x)(b-y)(c-z) = -(x-a)(y-b)(z-c)$

(2) の解き方:

1行目から2行目、3行目、4行目を引きます。

$\begin{vmatrix} a & b & b & b \\ a & b & a & a \\ a & a & b & a \\ b & b & b & a \end{vmatrix}$

$\begin{vmatrix} a-a & b-b & b-a & b-a \\ a & b & a & a \\ a & a & b & a \\ b & b & b & a \end{vmatrix} \rightarrow \begin{vmatrix} 0 & 0 & b-a & b-a \\ a & b & a & a \\ a & a & b & a \\ b & b & b & a \end{vmatrix}$

上記の操作ではなく、他の方法を検討します。

まず1行目から2,3,4行目を引くと

$\begin{vmatrix} a-a & b-b & b-a & b-a \\ a & b & a & a \\ a & a & b & a \\ b & b & b & a \end{vmatrix}$

計算を簡単にするために、全要素から$b$を引きます。

$\begin{vmatrix} a-b & 0 & 0 & 0 \\ a-b & b-b & a-b & a-b \\ a-b & a-b & b-b & a-b \\ 0 & 0 & 0 & a-b \end{vmatrix}$

$\begin{vmatrix} a-b & 0 & 0 & 0 \\ a-b & 0 & a-b & a-b \\ a-b & a-b & 0 & a-b \\ 0 & 0 & 0 & a-b \end{vmatrix} = (a-b) \begin{vmatrix} 0 & a-b & a-b \\ a-b & 0 & a-b \\ 0 & 0 & a-b \end{vmatrix} = (a-b)^2 \begin{vmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} = (a-b)^2 (-1)$

$-(a-b)^4$ を示す問題なので、正攻法ではない解き方をしている可能性があります。

教科書的な解き方は、行列の基本変形を行なって、三角行列に変形していくことです。

しかし、今回は行列のサイズが4x4であるため、手計算で基本変形を行うのは現実的ではありません。

WolframAlphaなどの計算ツールを利用するのが良いでしょう。

3. 最終的な答え

(1) $-(x-a)(y-b)(z-c)$

(2) $-(a-b)^4$