与えられた行列式を計算する問題です。行列式は以下の通りです。 $ \begin{vmatrix} 2^3 & 1 & 2^2 & 2 \\ -3^3 & 1 & 3^2 & -3 \\ 7^3 & 1 & 7^2 & 7 \\ 5^3 & 1 & 5^2 & 5 \end{vmatrix} $

1. 問題の内容

与えられた行列式を計算する問題です。行列式は以下の通りです。

$\begin{vmatrix} 2^3 & 1 & 2^2 & 2 \\ -3^3 & 1 & 3^2 & -3 \\ 7^3 & 1 & 7^2 & 7 \\ 5^3 & 1 & 5^2 & 5 \end{vmatrix}$

2. 解き方の手順

まず、行列式の性質を利用して計算を簡略化します。第2列がすべて1であることに注目し、第1行を基準にして、第2,3,4行から第1行を引きます。これにより、行列式は以下のようになります。

$\begin{vmatrix} 2^3 & 1 & 2^2 & 2 \\ -3^3 - 2^3 & 0 & 3^2 - 2^2 & -3 - 2 \\ 7^3 - 2^3 & 0 & 7^2 - 2^2 & 7 - 2 \\ 5^3 - 2^3 & 0 & 5^2 - 2^2 & 5 - 2 \end{vmatrix}$

次に、第2列に関して余因子展開を行います。これにより、4x4の行列式が3x3の行列式に帰着されます。

$\begin{vmatrix} -3^3 - 2^3 & 3^2 - 2^2 & -5 \\ 7^3 - 2^3 & 7^2 - 2^2 & 5 \\ 5^3 - 2^3 & 5^2 - 2^2 & 3 \end{vmatrix}$

ここで、各要素を計算します。

$-3^3 - 2^3 = -27 - 8 = -35$

$7^3 - 2^3 = 343 - 8 = 335$

$5^3 - 2^3 = 125 - 8 = 117$

$3^2 - 2^2 = 9 - 4 = 5$

$7^2 - 2^2 = 49 - 4 = 45$

$5^2 - 2^2 = 25 - 4 = 21$

したがって、行列式は以下のようになります。

$\begin{vmatrix} -35 & 5 & -5 \\ 335 & 45 & 5 \\ 117 & 21 & 3 \end{vmatrix}$

さらに計算を簡単にするため、1行目を-5でくくりだし、2行目を5でくくりだします。

$(-5) \cdot 5 \cdot \begin{vmatrix} 7 & -1 & 1 \\ 67 & 9 & 1 \\ 117 & 21 & 3 \end{vmatrix} = -25 \begin{vmatrix} 7 & -1 & 1 \\ 67 & 9 & 1 \\ 117 & 21 & 3 \end{vmatrix}$

ここで、1列目から3列目を引き、2列目から3列目を引きます。

$-25 \begin{vmatrix} 6 & -2 & 1 \\ 66 & 8 & 1 \\ 114 & 18 & 3 \end{vmatrix}$

再度、1列目と2列目からそれぞれ6と2を括りだします。

$-25 \cdot 6 \cdot 2 \begin{vmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 11 & 4 & 1 \\ 19 & 9 & 3 \end{vmatrix} = -300 \begin{vmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 11 & 4 & 1 \\ 19 & 9 & 3 \end{vmatrix}$

1行目を基準にして、2行目から1行目を引き、3行目から1行目の3倍を引きます。

$-300 \begin{vmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 10 & 5 & 0 \\ -10 & 12 & 0 \end{vmatrix}$

3列目で余因子展開します。

$-300 (1 \cdot \begin{vmatrix} 10 & 5 \\ -10 & 12 \end{vmatrix}) = -300 (10 \cdot 12 - 5 \cdot (-10)) = -300 (120 + 50) = -300 \cdot 170 = -51000$

3. 最終的な答え

-51000