与えられた $n$ 次正方行列の行列式を計算し、その結果が $1 + x^2 + x^4 + \dots + x^{2n}$ であることを示します。 行列の要素は、$1+x^2$ が対角成分、$x$ が対角成分のすぐ隣の成分、$0$ がその他の成分です。

1. 問題の内容

与えられた $n$ 次正方行列の行列式を計算し、その結果が $1 + x^2 + x^4 + \dots + x^{2n}$ であることを示します。 行列の要素は、$1+x^2$ が対角成分、$x$ が対角成分のすぐ隣の成分、$0$ がその他の成分です。

2. 解き方の手順

行列式を $D_n$ とします。

$n=1$ のとき、$D_1 = 1+x^2$ です。

$n=2$ のとき、

$D_2 = \begin{vmatrix} 1+x^2 & x \\ x & 1+x^2 \end{vmatrix} = (1+x^2)^2 - x^2 = 1+2x^2+x^4-x^2 = 1+x^2+x^4$

一般に、$D_n$ は次のように表されます。

$D_n = (1+x^2)D_{n-1} - x^2D_{n-2}$

数学的帰納法を用いて、$D_n = 1 + x^2 + x^4 + \dots + x^{2n}$ を証明します。

$n=1, 2$ のとき、成り立つことは既に示しました。

$k$ まで成り立つと仮定します。つまり、$D_k = 1 + x^2 + x^4 + \dots + x^{2k}$ です。

$k+1$ のとき、

$D_{k+1} = (1+x^2)D_k - x^2 D_{k-1}$

$= (1+x^2)(1 + x^2 + x^4 + \dots + x^{2k}) - x^2(1 + x^2 + x^4 + \dots + x^{2(k-1)})$

$= (1 + x^2 + x^4 + \dots + x^{2k}) + (x^2 + x^4 + x^6 + \dots + x^{2k+2}) - (x^2 + x^4 + x^6 + \dots + x^{2k})$

$= 1 + x^2 + x^4 + \dots + x^{2k} + x^{2k+2}$

$= 1 + x^2 + x^4 + \dots + x^{2(k+1)}$

したがって、$n=k+1$ のときも成り立ちます。

数学的帰納法により、すべての $n$ に対して、$D_n = 1 + x^2 + x^4 + \dots + x^{2n}$ が成り立ちます。

3. 最終的な答え

$1 + x^2 + x^4 + \dots + x^{2n}$