与えられたグラフに対応する関数 $y = f(x)$ を求める問題です。グラフは (1) 直線、(2) 2次関数、(3) 3次関数の3種類があります。

## 回答

1. 問題の内容

与えられたグラフに対応する関数 $y = f(x)$ を求める問題です。グラフは (1) 直線、(2) 2次関数、(3) 3次関数の3種類があります。

2. 解き方の手順

**(1) 直線**

直線のグラフは、y切片と傾きから求めることができます。

* y切片は6なので、$(0, 6)$を通ります。

* x切片は4なので、$(4, 0)$を通ります。

傾きは、2点間のy座標の差をx座標の差で割ることで求められます。

傾き $m$ は、$m = \frac{0 - 6}{4 - 0} = \frac{-6}{4} = -\frac{3}{2}$となります。

したがって、直線の式は $y = mx + b$ に傾き $m = -\frac{3}{2}$ とy切片 $b = 6$ を代入して、$y = -\frac{3}{2}x + 6$ となります。

**(2) 2次関数**

2次関数のグラフは、頂点と他の1点の座標から求めることができます。

* グラフの頂点の座標は $(1, -4)$ です。

* グラフは $(0, -3)$ を通ります。

頂点の座標が $(1, -4)$ であることから、2次関数の式は $y = a(x-1)^2 - 4$ と表せます。

$(0, -3)$ を通ることから、この座標を上記の式に代入すると、 $-3 = a(0-1)^2 - 4$ となります。

この式を解くと、$a = 1$ となります。

したがって、2次関数の式は $y = (x-1)^2 - 4 = x^2 - 2x + 1 - 4 = x^2 - 2x - 3$ となります。

**(3) 3次関数**

3次関数のグラフは、x軸との交点と、極大値、極小値から推定できます。グラフの形状から、ここでは3次関数を$y = a(x+1)(x-2)(x-c)$のような形で近似することを考えます。

* x軸との交点は$x = -1$ と $x = 2$ にあります。

グラフを見ると、$x = -1$ 近傍では正の値から負の値に変わっているので、$x+1$の因子を持ち、$x = 2$近傍では正の値から負の値に変わっているので、$x-2$の因子を持つと考えられます。もう一つの因子は、$x = 0$の近くで極大になることから、グラフの形状から、$x = c$の因子を持つと考えられます。

グラフは原点付近で $y = 4$ 程度の値を持つため、$x=0$, $y=4$を代入すると、$4 = a(1)(-2)(-c) = 2ac$となり、$ac = 2$です。グラフの形状から$c$は正の値を持つと考えられるので、$c = 1$と仮定すると、$a = 2$となります。

すると、$y = 2(x+1)(x-2)(x-1) = 2(x+1)(x^2-3x+2) = 2(x^3-3x^2+2x+x^2-3x+2) = 2(x^3-2x^2-x+2) = 2x^3 - 4x^2 - 2x + 4$となります。

3. 最終的な答え

(1) 直線: $y = -\frac{3}{2}x + 6$

(2) 2次関数: $y = x^2 - 2x - 3$

(3) 3次関数: $y = 2x^3 - 4x^2 - 2x + 4$