$a^2 + b^2 = c^2$ かつ $a + c = 81$ を満たす正の整数 $a, b, c$ の組み合わせは何通りあるかを求める問題です。

1. 問題の内容

$a^2 + b^2 = c^2$ かつ $a + c = 81$ を満たす正の整数 $a, b, c$ の組み合わせは何通りあるかを求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$a + c = 81$ より、$c = 81 - a$ となります。これを $a^2 + b^2 = c^2$ に代入すると、

$a^2 + b^2 = (81 - a)^2$

$a^2 + b^2 = 81^2 - 162a + a^2$

$b^2 = 81^2 - 162a$

$b^2 = 81(81 - 2a)$

$b^2 = 3^4 (81 - 2a)$

ここで、$b$ は整数なので、$81 - 2a$ は平方数でなければなりません。

$81 - 2a = k^2$ （$k$ は正の整数）とおくと、$b^2 = 3^4 k^2$ より、$b = 9k$ となります。

$81 - 2a = k^2$ より、$2a = 81 - k^2$

$a = \frac{81 - k^2}{2}$

$a$ は正の整数なので、$81 - k^2 > 0$ かつ $81 - k^2$ は偶数でなければなりません。

$k^2 < 81$ より、$k < 9$ となります。

$81 - k^2$ が偶数となるためには、$k^2$ が奇数でなければなりません。したがって、$k$ は奇数でなければなりません。

$k$ の候補は、1, 3, 5, 7 の4つです。

それぞれの場合について、$a, b, c$ を求めます。

- $k=1$ のとき、$a = \frac{81-1}{2} = 40$, $b = 9k = 9$, $c = 81 - a = 81 - 40 = 41$

- $k=3$ のとき、$a = \frac{81-9}{2} = 36$, $b = 9k = 27$, $c = 81 - a = 81 - 36 = 45$

- $k=5$ のとき、$a = \frac{81-25}{2} = 28$, $b = 9k = 45$, $c = 81 - a = 81 - 28 = 53$

- $k=7$ のとき、$a = \frac{81-49}{2} = 16$, $b = 9k = 63$, $c = 81 - a = 81 - 16 = 65$

これらの組み合わせが条件を満たすか確認します。

- $(40, 9, 41)$: $40^2 + 9^2 = 1600 + 81 = 1681 = 41^2$, $40+41 = 81$

- $(36, 27, 45)$: $36^2 + 27^2 = 1296 + 729 = 2025 = 45^2$, $36+45 = 81$

- $(28, 45, 53)$: $28^2 + 45^2 = 784 + 2025 = 2809 = 53^2$, $28+53 = 81$

- $(16, 63, 65)$: $16^2 + 63^2 = 256 + 3969 = 4225 = 65^2$, $16+65 = 81$

したがって、条件を満たす組み合わせは4通りです。

3. 最終的な答え

4通り