ある映画館の入場券には、1300円の大人券、800円の子供券、2000円の親子ペア券の3種類がある。ある日の入場券の販売額の合計は272900円であった。大人券の販売枚数は親子ペア券の販売枚数の半分より9枚少なく、販売枚数が最も多いのは親子ペア券、次が子供券、最も少ないのが大人券であったとき、大人券の販売枚数を求める。

1. 問題の内容

ある映画館の入場券には、1300円の大人券、800円の子供券、2000円の親子ペア券の3種類がある。ある日の入場券の販売額の合計は272900円であった。大人券の販売枚数は親子ペア券の販売枚数の半分より9枚少なく、販売枚数が最も多いのは親子ペア券、次が子供券、最も少ないのが大人券であったとき、大人券の販売枚数を求める。

2. 解き方の手順

大人券の枚数を $x$ 、子供券の枚数を $y$ 、親子ペア券の枚数を $z$ とする。

問題文より、以下の式が成り立つ。

* $1300x + 800y + 2000z = 272900$ (1) (販売額の合計)

* $x = \frac{z}{2} - 9$ (2) (大人券の枚数と親子ペア券の枚数の関係)

* $z > y > x$ (3) (販売枚数の大小関係)

(2)式を変形して$z = 2x + 18$ (4)

(1)式に(4)式を代入する。

$1300x + 800y + 2000(2x+18) = 272900$

$1300x + 800y + 4000x + 36000 = 272900$

$5300x + 800y = 236900$

$53x + 8y = 2369$ (5)

(3)より$z > y > x$なので、$2x+18 > y > x$である。

(5)より、$8y = 2369 - 53x$

$y = \frac{2369 - 53x}{8}$

$y$は整数なので、$2369 - 53x$は8で割り切れる必要がある。

$2369 \equiv 1 \pmod{8}$

$53 \equiv 5 \pmod{8}$

$-5x + 1 \equiv 0 \pmod{8}$

$5x \equiv 1 \pmod{8}$

$5x = 8k + 1$を満たす整数$k$を探す。

$x = 5$ のとき、$5 \cdot 5 = 25 = 8 \cdot 3 + 1$

$x = 5 + 8t$ (tは整数)

$x = 5$のとき $y = \frac{2369 - 53\cdot5}{8} = \frac{2369 - 265}{8} = \frac{2104}{8} = 263$

$z = 2x + 18 = 2(5) + 18 = 28$

このとき$z > y > x$を満たさない。

$x=13$のとき

$y = \frac{2369-53 \times 13}{8} = \frac{2369 - 689}{8} = \frac{1680}{8} = 210$

$z = 2 \times 13 + 18 = 26 + 18 = 44$

このとき$z > y > x$を満たさない。

$x=21$のとき

$y = \frac{2369-53 \times 21}{8} = \frac{2369 - 1113}{8} = \frac{1256}{8} = 157$

$z = 2 \times 21 + 18 = 42 + 18 = 60$

このとき$z > y > x$を満たす。$60 > 157 > 21$は成り立たない。

$x = 29$のとき

$y = \frac{2369 - 53 \times 29}{8} = \frac{2369 - 1537}{8} = \frac{832}{8} = 104$

$z = 2 \times 29 + 18 = 58 + 18 = 76$

このとき $z > y > x$を満たす。しかし、$76 > 104 > 29$は成り立たない。

$x = 37$のとき

$y = \frac{2369 - 53 \times 37}{8} = \frac{2369 - 1961}{8} = \frac{408}{8} = 51$

$z = 2 \times 37 + 18 = 74 + 18 = 92$

このとき $z > y > x$を満たす。$92>51>37$これは成り立つ。

3. 最終的な答え

大人券の販売枚数は37枚。