与えられた式 $\frac{x}{x+1} + \frac{3x-1}{x^2 - 2x}$ を簡略化して、最も簡単な形にすることを目標とします。

1. 問題の内容

与えられた式 $\frac{x}{x+1} + \frac{3x-1}{x^2 - 2x}$ を簡略化して、最も簡単な形にすることを目標とします。

2. 解き方の手順

まず、分母を因数分解します。

$x^2 - 2x = x(x-2)$

したがって、与えられた式は次のようになります。

$\frac{x}{x+1} + \frac{3x-1}{x(x-2)}$

次に、共通分母を見つけます。共通分母は $x(x+1)(x-2)$ です。それぞれの項を共通分母で書き換えます。

$\frac{x}{x+1} = \frac{x \cdot x(x-2)}{(x+1) \cdot x(x-2)} = \frac{x^2(x-2)}{x(x+1)(x-2)} = \frac{x^3 - 2x^2}{x(x+1)(x-2)}$

$\frac{3x-1}{x(x-2)} = \frac{(3x-1)(x+1)}{x(x-2)(x+1)} = \frac{3x^2 + 3x - x - 1}{x(x+1)(x-2)} = \frac{3x^2 + 2x - 1}{x(x+1)(x-2)}$

したがって、式は次のようになります。

$\frac{x^3 - 2x^2}{x(x+1)(x-2)} + \frac{3x^2 + 2x - 1}{x(x+1)(x-2)} = \frac{x^3 - 2x^2 + 3x^2 + 2x - 1}{x(x+1)(x-2)}$

分子を簡略化します。

$x^3 - 2x^2 + 3x^2 + 2x - 1 = x^3 + x^2 + 2x - 1$

したがって、式は次のようになります。

$\frac{x^3 + x^2 + 2x - 1}{x(x+1)(x-2)}$

これ以上簡略化できないので、これが最終的な答えです。

3. 最終的な答え

$\frac{x^3 + x^2 + 2x - 1}{x(x+1)(x-2)}$