与えられた式 $(3a-1)(9a^2+3a+1)$ を展開し、簡略化せよ。

1. 問題の内容

与えられた式 $(3a-1)(9a^2+3a+1)$ を展開し、簡略化せよ。

2. 解き方の手順

まず、$3a-1$ を $9a^2+3a+1$ の各項に分配します。

$(3a-1)(9a^2+3a+1) = 3a(9a^2+3a+1) - 1(9a^2+3a+1)$

次に、それぞれの項を展開します。

$3a(9a^2+3a+1) = 27a^3 + 9a^2 + 3a$

$-1(9a^2+3a+1) = -9a^2 - 3a - 1$

これらの結果を足し合わせます。

$27a^3 + 9a^2 + 3a - 9a^2 - 3a - 1$

同類項をまとめます。$9a^2$ と $-9a^2$、$3a$ と $-3a$ はそれぞれ打ち消しあいます。

よって、式は次のようになります。

$27a^3 - 1$

この式は、$a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$ という因数分解の公式の逆を用いて計算することもできます。この場合、$a = 3a$、$b=1$ とすると、$(3a)^3 - 1^3 = (3a-1)((3a)^2 + (3a)(1) + 1^2) = (3a-1)(9a^2 + 3a + 1)$ となり、$(3a)^3 - 1^3 = 27a^3 - 1$ を得ます。

3. 最終的な答え

$27a^3 - 1$