問題9では、$x$ についての不等式 $x + a \ge 4x + 9$ が与えられています。 (1) この不等式の解が $x \le 2$ となるように、定数 $a$ の値を求めます。 (2) この不等式の解が $x = -1$ を含むように、定数 $a$ の値の範囲を求めます。 問題10では、300円のケーキAと340円のケーキBを合わせて15個買い、200円の箱に入れる。ケーキ代と箱代の合計金額を5000円以下にしてBをできるだけ多く買うとき、A、Bはそれぞれ何個買えるかを求めます。

1. 問題の内容

問題9では、$x$ についての不等式 $x + a \ge 4x + 9$ が与えられています。

(1) この不等式の解が $x \le 2$ となるように、定数 $a$ の値を求めます。

(2) この不等式の解が $x = -1$ を含むように、定数 $a$ の値の範囲を求めます。

問題10では、300円のケーキAと340円のケーキBを合わせて15個買い、200円の箱に入れる。ケーキ代と箱代の合計金額を5000円以下にしてBをできるだけ多く買うとき、A、Bはそれぞれ何個買えるかを求めます。

2. 解き方の手順

問題9

(1) 不等式 $x + a \ge 4x + 9$ を $x$ について解きます。

$x + a \ge 4x + 9$

$a - 9 \ge 3x$

$x \le \frac{a - 9}{3}$

解が $x \le 2$ となるためには、$\frac{a - 9}{3} = 2$ であれば良いです。

$a - 9 = 6$

$a = 15$

(2) 不等式の解が $x = -1$ を含むということは、$x = -1$ が不等式を満たすということです。

$x = -1$ を $x + a \ge 4x + 9$ に代入すると、

$-1 + a \ge 4(-1) + 9$

$-1 + a \ge -4 + 9$

$-1 + a \ge 5$

$a \ge 6$

問題10

ケーキAの個数を $x$ 個、ケーキBの個数を $y$ 個とします。

合計15個なので、$x + y = 15$

金額は5000円以下なので、$300x + 340y + 200 \le 5000$

$300x + 340y \le 4800$

$30x + 34y \le 480$

$15x + 17y \le 240$

$x = 15 - y$ を代入して

$15(15 - y) + 17y \le 240$

$225 - 15y + 17y \le 240$

$2y \le 15$

$y \le 7.5$

Bをできるだけ多く買いたいので、$y = 7$ が考えられます。

$x = 15 - 7 = 8$

$300 \times 8 + 340 \times 7 = 2400 + 2380 = 4780$

$4780 + 200 = 4980 \le 5000$ なので、条件を満たします。

$y = 8$ とすると、$x = 15 - 8 = 7$

$300 \times 7 + 340 \times 8 = 2100 + 2720 = 4820$

$4820 + 200 = 5020 > 5000$ なので、条件を満たしません。

したがって、ケーキAは8個、ケーキBは7個です。

3. 最終的な答え

問題9

(1) $a = 15$

(2) $a \ge 6$

問題10

ケーキA: 8個

ケーキB: 7個