二次関数 $y = -3x^2 - 4x + 2$ の $-1 \le x \le 0$ における最大値と最小値を求める問題です。

1. 問題の内容

二次関数 $y = -3x^2 - 4x + 2$ の $-1 \le x \le 0$ における最大値と最小値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、二次関数の頂点の座標を求めます。

$y = -3x^2 - 4x + 2$ を平方完成します。

$y = -3(x^2 + \frac{4}{3}x) + 2$

$y = -3(x^2 + \frac{4}{3}x + (\frac{2}{3})^2 - (\frac{2}{3})^2) + 2$

$y = -3((x + \frac{2}{3})^2 - \frac{4}{9}) + 2$

$y = -3(x + \frac{2}{3})^2 + \frac{4}{3} + 2$

$y = -3(x + \frac{2}{3})^2 + \frac{4}{3} + \frac{6}{3}$

$y = -3(x + \frac{2}{3})^2 + \frac{10}{3}$

したがって、頂点の座標は $(-\frac{2}{3}, \frac{10}{3})$ です。

次に、定義域 $-1 \le x \le 0$ における関数の値を調べます。

頂点のx座標 $-\frac{2}{3}$ は定義域に含まれています。

したがって、$x = -\frac{2}{3}$ のとき、最大値 $\frac{10}{3}$ をとります。

次に、定義域の端点における関数の値を求めます。

$x = -1$ のとき、

$y = -3(-1)^2 - 4(-1) + 2 = -3 + 4 + 2 = 3$

$x = 0$ のとき、

$y = -3(0)^2 - 4(0) + 2 = 2$

$-1 \le x \le 0$ において、関数は $x=-\frac{2}{3}$で最大値$\frac{10}{3}$をとり、$x=0$で最小値$2$を取ります。

$3 = \frac{9}{3}$ なので、$x=-1$のときの値$3$よりも頂点の方が大きい。

3. 最終的な答え

最大値: $\frac{10}{3}$ ($x = -\frac{2}{3}$ のとき)

最小値: $2$ ($x = 0$ のとき)