$x = \frac{\sqrt{5}+2}{\sqrt{5}-2}$、 $y = \frac{\sqrt{5}-2}{\sqrt{5}+2}$のとき、 (1) $x^2y+xy^2$ の値を求めよ。 (2) $x^3+y^3$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$x = \frac{\sqrt{5}+2}{\sqrt{5}-2}$、 $y = \frac{\sqrt{5}-2}{\sqrt{5}+2}$のとき、

(1) $x^2y+xy^2$ の値を求めよ。

(2) $x^3+y^3$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $x^2y + xy^2$ を因数分解すると、 $xy(x+y)$ となる。

$x = \frac{\sqrt{5}+2}{\sqrt{5}-2} = \frac{(\sqrt{5}+2)(\sqrt{5}+2)}{(\sqrt{5}-2)(\sqrt{5}+2)} = \frac{5 + 4\sqrt{5} + 4}{5-4} = 9+4\sqrt{5}$

$y = \frac{\sqrt{5}-2}{\sqrt{5}+2} = \frac{(\sqrt{5}-2)(\sqrt{5}-2)}{(\sqrt{5}+2)(\sqrt{5}-2)} = \frac{5 - 4\sqrt{5} + 4}{5-4} = 9-4\sqrt{5}$

$xy = (9+4\sqrt{5})(9-4\sqrt{5}) = 81 - 16\times5 = 81 - 80 = 1$

$x+y = (9+4\sqrt{5}) + (9-4\sqrt{5}) = 18$

したがって、 $x^2y+xy^2 = xy(x+y) = 1\times 18 = 18$

(2) $x^3+y^3$ を因数分解すると、 $(x+y)(x^2-xy+y^2)$ となる。

また、$x^3+y^3 = (x+y)^3 - 3xy(x+y)$ と変形できる。

$x+y = 18$、 $xy=1$ であるから、

$x^3+y^3 = (18)^3 - 3 \times 1 \times 18 = 5832 - 54 = 5778$

3. 最終的な答え

(1) 18

(2) 5778