与えられた方程式 $(x+1)(x+2)(x+3)(x+4) = 24$ の解を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた方程式 $(x+1)(x+2)(x+3)(x+4) = 24$ の解を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、左辺の積を計算しやすいように工夫します。

$(x+1)(x+4)$ と $(x+2)(x+3)$ をそれぞれ計算します。

$(x+1)(x+4) = x^2 + 5x + 4$

$(x+2)(x+3) = x^2 + 5x + 6$

ここで、$y = x^2 + 5x$ と置くと、方程式は次のようになります。

$(y+4)(y+6) = 24$

展開すると、

$y^2 + 10y + 24 = 24$

$y^2 + 10y = 0$

$y(y+10) = 0$

したがって、$y = 0$ または $y = -10$ です。

(i) $y = 0$ のとき、

$x^2 + 5x = 0$

$x(x+5) = 0$

$x = 0$ または $x = -5$

(ii) $y = -10$ のとき、

$x^2 + 5x = -10$

$x^2 + 5x + 10 = 0$

この2次方程式の判別式を計算します。

$D = 5^2 - 4(1)(10) = 25 - 40 = -15$

$D < 0$ なので、実数解は存在しません。

しかし、複素解が存在します。2次方程式の解の公式を使うと、

$x = \frac{-5 \pm \sqrt{-15}}{2} = \frac{-5 \pm i\sqrt{15}}{2}$

3. 最終的な答え

したがって、方程式の解は以下の4つです。

$x = 0, -5, \frac{-5 + i\sqrt{15}}{2}, \frac{-5 - i\sqrt{15}}{2}$