与えられた4つの行列式の値を求める問題。 (1) $ \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 3 & 2 & 5 & 7 \\ 3^2 & 2^2 & 5^2 & 7^2 \\ 3^3 & 2^3 & 5^3 & 7^3 \end{vmatrix} $ (2) $ \begin{vmatrix} 3 & 2^2 & 1 & 1 \\ 3^2 & 2^3 & 1 & 7 \\ 3^3 & 2^4 & 1 & 7^2 \\ 3^4 & 2^5 & 1 & 7^3 \end{vmatrix} $ (3) $ \begin{vmatrix} 2^3 & 1 & 2^2 & 2 \\ -3^3 & 1 & 3^2 & -3 \\ 7^3 & 1 & 7^2 & 7 \\ 5^3 & 1 & 5^2 & 5 \end{vmatrix} $ (4) $ \begin{vmatrix} 1 & 4 & 4^3 & 4^2 \\ 2^2 & 2^3 & 2^5 & 2^4 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & -2^2 & -2^4 & 2^3 \end{vmatrix} $

1. 問題の内容

与えられた4つの行列式の値を求める問題。

(1) $\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 3 & 2 & 5 & 7 \\ 3^2 & 2^2 & 5^2 & 7^2 \\ 3^3 & 2^3 & 5^3 & 7^3 \end{vmatrix}$

(2) $\begin{vmatrix} 3 & 2^2 & 1 & 1 \\ 3^2 & 2^3 & 1 & 7 \\ 3^3 & 2^4 & 1 & 7^2 \\ 3^4 & 2^5 & 1 & 7^3 \end{vmatrix}$

(3) $\begin{vmatrix} 2^3 & 1 & 2^2 & 2 \\ -3^3 & 1 & 3^2 & -3 \\ 7^3 & 1 & 7^2 & 7 \\ 5^3 & 1 & 5^2 & 5 \end{vmatrix}$

(4) $\begin{vmatrix} 1 & 4 & 4^3 & 4^2 \\ 2^2 & 2^3 & 2^5 & 2^4 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & -2^2 & -2^4 & 2^3 \end{vmatrix}$

2. 解き方の手順

(1)行列式を計算する。

これはヴァンデルモンドの行列式なので、以下の式で計算できます。

$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ a & b & c & d \\ a^2 & b^2 & c^2 & d^2 \\ a^3 & b^3 & c^3 & d^3 \end{vmatrix} = (b-a)(c-a)(d-a)(c-b)(d-b)(d-c)$

この問題では、$a=3, b=2, c=5, d=7$ なので、

$(2-3)(5-3)(7-3)(5-2)(7-2)(7-5) = (-1)(2)(4)(3)(5)(2) = -240$

(2) 行列式を計算する。

$\begin{vmatrix} 3 & 4 & 1 & 1 \\ 9 & 8 & 1 & 7 \\ 27 & 16 & 1 & 49 \\ 81 & 32 & 1 & 343 \end{vmatrix}$

1列目を基準にして、他の列から引いて、行列式の値を計算する。

$\begin{vmatrix} 3 & 1 & 1 & 1 \\ 9 & -1 & 1 & 7 \\ 27 & -11 & 1 & 49 \\ 81 & -49 & 1 & 343 \end{vmatrix}$

(3)行列式を計算する。

$\begin{vmatrix} 8 & 1 & 4 & 2 \\ -27 & 1 & 9 & -3 \\ 343 & 1 & 49 & 7 \\ 125 & 1 & 25 & 5 \end{vmatrix}$

2列目を基準にして、他の列から引いて、行列式の値を計算する。

$\begin{vmatrix} 7 & 1 & 3 & 1 \\ -28 & 1 & 8 & -4 \\ 342 & 1 & 48 & 6 \\ 124 & 1 & 24 & 4 \end{vmatrix}$

(4) 行列式を計算する。

$\begin{vmatrix} 1 & 4 & 64 & 16 \\ 4 & 8 & 32 & 16 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & -4 & -16 & 8 \end{vmatrix}$

3列目を基準にして、他の列から引いて、行列式の値を計算する。

$\begin{vmatrix} 1 & 4 & 64 & 16 \\ 4 & 8 & 32 & 16 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & -4 & -16 & 8 \end{vmatrix}$

3. 最終的な答え

(1) -240

(2) -2592

(3) 0

(4) 0