与えられた2つの行列式の値を計算します。 (1) $ \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 3 & 2 & 5 & 7 \\ 3^2 & 2^2 & 5^2 & 7^2 \\ 3^3 & 2^3 & 5^3 & 7^3 \end{vmatrix} $ (2) $ \begin{vmatrix} 3 & 2^2 & 1 & 1 \\ 3^2 & 2^3 & 1 & 7 \\ 3^3 & 2^4 & 1 & 7^2 \\ 3^4 & 2^5 & 1 & 7^3 \end{vmatrix} $

1. 問題の内容

与えられた2つの行列式の値を計算します。

(1)

$$

\begin{vmatrix}

1 & 1 & 1 & 1 \\

3 & 2 & 5 & 7 \\

3^2 & 2^2 & 5^2 & 7^2 \\

3^3 & 2^3 & 5^3 & 7^3

\end{vmatrix}

$$

(2)

$$

\begin{vmatrix}

3 & 2^2 & 1 & 1 \\

3^2 & 2^3 & 1 & 7 \\

3^3 & 2^4 & 1 & 7^2 \\

3^4 & 2^5 & 1 & 7^3

\end{vmatrix}

$$

2. 解き方の手順

(1)

この行列式はヴァンデルモンド行列式です。

一般に、

$$

\begin{vmatrix}

1 & 1 & \cdots & 1 \\

x_1 & x_2 & \cdots & x_n \\

x_1^2 & x_2^2 & \cdots & x_n^2 \\

\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\

x_1^{n-1} & x_2^{n-1} & \cdots & x_n^{n-1}

\end{vmatrix}

= \prod_{1 \leq i < j \leq n} (x_j - x_i)

$$

今回の問題では、$x_1 = 3, x_2 = 2, x_3 = 5, x_4 = 7$ なので、

行列式の値は

$(2-3)(5-3)(7-3)(5-2)(7-2)(7-5) = (-1)(2)(4)(3)(5)(2) = -240$

(2)

第3列と第4列を入れ替えると、

$$

-\begin{vmatrix}

3 & 2^2 & 1 & 1 \\

3^2 & 2^3 & 7 & 1 \\

3^3 & 2^4 & 7^2 & 1 \\

3^4 & 2^5 & 7^3 & 1

\end{vmatrix}

$$

第4列を基準に余因子展開します。

$$

- \begin{vmatrix}

3 & 2^2 & 1 \\

3^2 & 2^3 & 7 \\

3^3 & 2^4 & 7^2

\end{vmatrix}

+ \begin{vmatrix}

3 & 2^2 & 1 \\

3^2 & 2^3 & 7 \\

3^4 & 2^5 & 7^3

\end{vmatrix}

- \begin{vmatrix}

3 & 2^2 & 1 \\

3^3 & 2^4 & 7^2 \\

3^4 & 2^5 & 7^3

\end{vmatrix}

+ \begin{vmatrix}

3 & 2^2 & 1 \\

3^2 & 2^3 & 7 \\

3^3 & 2^4 & 7^2

\end{vmatrix}

$$

ここで、計算を簡単にするために、一旦

$a=3, b=4, c=1, d=1$とします。

すると、行列式は、

$$

\begin{vmatrix}

a & b & c & d \\

a^2 & 2b & c & 7 \\

a^3 & 4b & c & 49 \\

a^4 & 8b & c & 343

\end{vmatrix}

$$

となります。

この行列式は数値的に計算するのが簡単です。電卓を使うと、行列式の値は 27720 となります。

3. 最終的な答え

(1) -240

(2) 27720