ベクトル $a = (4, 3)$ とベクトル $b = (x, -2)$ が与えられている。 (1) ベクトル $(a+b)$ とベクトル $(a-b)$ が平行となるように $x$ の値を定める。 (2) ベクトル $(a+b)$ とベクトル $(a-b)$ が垂直となるように $x$ の値を定める。

1. 問題の内容

ベクトル $a = (4, 3)$ とベクトル $b = (x, -2)$ が与えられている。

(1) ベクトル $(a+b)$ とベクトル $(a-b)$ が平行となるように $x$ の値を定める。

(2) ベクトル $(a+b)$ とベクトル $(a-b)$ が垂直となるように $x$ の値を定める。

2. 解き方の手順

(1) $(a+b)$ と $(a-b)$ が平行である条件は、ある実数 $k$ が存在して $a+b = k(a-b)$ となることである。あるいは、$(a+b)$ と $(a-b)$ の各成分の比が等しいことである。

$a+b = (4+x, 3-2) = (4+x, 1)$

$a-b = (4-x, 3-(-2)) = (4-x, 5)$

$(a+b) // (a-b)$ より、

$\frac{4+x}{4-x} = \frac{1}{5}$

$5(4+x) = 4-x$

$20+5x = 4-x$

$6x = -16$

$x = -\frac{16}{6} = -\frac{8}{3}$

(2) $(a+b)$ と $(a-b)$ が垂直である条件は、内積 $(a+b) \cdot (a-b) = 0$ となることである。

$(a+b) \cdot (a-b) = (4+x)(4-x) + (1)(5) = 0$

$16 - x^2 + 5 = 0$

$x^2 = 21$

$x = \pm \sqrt{21}$

3. 最終的な答え

(1) $x = -\frac{8}{3}$

(2) $x = \pm \sqrt{21}$