次の4つの分数式の計算問題を解きます。 (1) $\frac{1}{x+1} + \frac{2}{x-1}$ (2) $\frac{x+2}{x^2+x-2} + \frac{x+3}{x^2-4x+3}$ (3) $y + \frac{y^2}{x-y}$ (4) $\frac{a}{ab+b^2} - \frac{b}{a^2+ab}$

はい、承知いたしました。分数式の計算問題を解きます。

1. 問題の内容

次の4つの分数式の計算問題を解きます。

(1) $\frac{1}{x+1} + \frac{2}{x-1}$

(2) $\frac{x+2}{x^2+x-2} + \frac{x+3}{x^2-4x+3}$

(3) $y + \frac{y^2}{x-y}$

(4) $\frac{a}{ab+b^2} - \frac{b}{a^2+ab}$

2. 解き方の手順

(1) $\frac{1}{x+1} + \frac{2}{x-1}$

通分して計算します。

$\frac{1}{x+1} + \frac{2}{x-1} = \frac{(x-1) + 2(x+1)}{(x+1)(x-1)} = \frac{x-1+2x+2}{x^2-1} = \frac{3x+1}{x^2-1}$

(2) $\frac{x+2}{x^2+x-2} + \frac{x+3}{x^2-4x+3}$

分母を因数分解します。

$x^2+x-2 = (x+2)(x-1)$

$x^2-4x+3 = (x-1)(x-3)$

$\frac{x+2}{(x+2)(x-1)} + \frac{x+3}{(x-1)(x-3)} = \frac{1}{x-1} + \frac{x+3}{(x-1)(x-3)} = \frac{(x-3)+(x+3)}{(x-1)(x-3)} = \frac{2x}{(x-1)(x-3)} = \frac{2x}{x^2-4x+3}$

(3) $y + \frac{y^2}{x-y}$

通分して計算します。

$y + \frac{y^2}{x-y} = \frac{y(x-y) + y^2}{x-y} = \frac{xy-y^2+y^2}{x-y} = \frac{xy}{x-y}$

(4) $\frac{a}{ab+b^2} - \frac{b}{a^2+ab}$

分母を因数分解します。

$ab+b^2 = b(a+b)$

$a^2+ab = a(a+b)$

$\frac{a}{b(a+b)} - \frac{b}{a(a+b)} = \frac{a^2 - b^2}{ab(a+b)} = \frac{(a-b)(a+b)}{ab(a+b)} = \frac{a-b}{ab}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{3x+1}{x^2-1}$

(2) $\frac{2x}{x^2-4x+3}$

(3) $\frac{xy}{x-y}$

(4) $\frac{a-b}{ab}$