与えられた行列 $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -2 & -1 \end{pmatrix}$, $I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$, $O = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ に対して、以下の4つの問題を解き、空欄を埋める。 (1) $2(3A - 2B) - 3(A - 2B)$ を計算する。 (2) 行列 $A$ に対してケイリー・ハミルトンの定理を適用し、$A^2 - \alpha A + \beta I = 0$ の形を求める。次に、$A^4 - 4A^3 + 2A$ を計算する。 (3) $(A+B)(A-B)$ を計算する。 (4) $BX = A$ を満たす行列 $X$ を求める。

1. 問題の内容

与えられた行列 $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -2 & -1 \end{pmatrix}$, $I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$, $O = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ に対して、以下の4つの問題を解き、空欄を埋める。

(1) $2(3A - 2B) - 3(A - 2B)$ を計算する。

(2) 行列 $A$ に対してケイリー・ハミルトンの定理を適用し、$A^2 - \alpha A + \beta I = 0$ の形を求める。次に、$A^4 - 4A^3 + 2A$ を計算する。

(3) $(A+B)(A-B)$ を計算する。

(4) $BX = A$ を満たす行列 $X$ を求める。

2. 解き方の手順

(1)

$2(3A - 2B) - 3(A - 2B) = 6A - 4B - 3A + 6B = 3A + 2B$

$3A = 3\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & 3 \\ 6 & 9 \end{pmatrix}$

$2B = 2\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -2 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ -4 & -2 \end{pmatrix}$

$3A + 2B = \begin{pmatrix} 6 & 3 \\ 6 & 9 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ -4 & -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 & 3 \\ 2 & 7 \end{pmatrix}$

(2)

$A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$ の特性多項式は

$\det(A - \lambda I) = \det \begin{pmatrix} 2-\lambda & 1 \\ 2 & 3-\lambda \end{pmatrix} = (2-\lambda)(3-\lambda) - 1\cdot 2 = \lambda^2 - 5\lambda + 6 - 2 = \lambda^2 - 5\lambda + 4$

ケイリー・ハミルトンの定理より、$A^2 - 5A + 4I = 0$。したがって、$\alpha = 5$, $\beta = 4$。

$A^2 = 5A - 4I$

$A^3 = A(5A - 4I) = 5A^2 - 4A = 5(5A - 4I) - 4A = 25A - 20I - 4A = 21A - 20I$

$A^4 = A(21A - 20I) = 21A^2 - 20A = 21(5A - 4I) - 20A = 105A - 84I - 20A = 85A - 84I$

$A^4 - 4A^3 + 2A = (85A - 84I) - 4(21A - 20I) + 2A = 85A - 84I - 84A + 80I + 2A = 3A - 4I = 3\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} - 4\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & 3 \\ 6 & 9 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 6 & 5 \end{pmatrix}$

(3)

$(A+B)(A-B) = A^2 - AB + BA - B^2$

$AB = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -2 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -4 & -3 \end{pmatrix}$

$BA = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -2 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -6 & -5 \end{pmatrix}$

$B^2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -2 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -2 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = I$

$(A+B)(A-B) = (5A - 4I) - AB + BA - B^2 = 5A - 4I - \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -4 & -3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -6 & -5 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = 5\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 4 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -4 & -3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -6 & -5 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 & 5 \\ 10 & 15 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 4 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -4 & -3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -6 & -5 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 & 7 \\ 8 & 8 \end{pmatrix}$

(4)

$BX = A$ より $X = B^{-1} A$

$B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -2 & -1 \end{pmatrix}$

$\det(B) = -1$

$B^{-1} = \frac{1}{-1} \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -2 & -1 \end{pmatrix}$

$X = B^{-1} A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -2 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -6 & -5 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

(1) $\begin{pmatrix} 8 & 3 \\ 2 & 7 \end{pmatrix}$

(2) $A^2 - 5A + 4I = 0$, $\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 6 & 5 \end{pmatrix}$

(3) $\begin{pmatrix} 7 & 7 \\ 8 & 8 \end{pmatrix}$

(4) $\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -6 & -5 \end{pmatrix}$