与えられた式 $x^2 + xy - 2y^2 + 6x + 8$ を因数分解する問題です。

1. 問題の内容

与えられた式 $x^2 + xy - 2y^2 + 6x + 8$ を因数分解する問題です。

2. 解き方の手順

まず、与式を$x$の2次式と見て整理します。

$x^2 + (y+6)x - 2y^2 + 8$

次に、定数項 $-2y^2 + 8$ を因数分解することを考えますが、うまくいきません。

そこで、$x^2 + xy - 2y^2$ の部分を因数分解すると $(x+2y)(x-y)$ となることに着目し、

$x^2 + xy - 2y^2 + 6x + 8 = (x+2y)(x-y) + 6x + 8$

と変形します。このままでは因数分解できません。

与えられた式を再度 $x$ の2次式と見て、平方完成を目指します。

まず $x^2 + (y+6)x$ の部分に着目します。

$x^2 + (y+6)x + \frac{(y+6)^2}{4} - \frac{(y+6)^2}{4}$

$= (x+\frac{y+6}{2})^2 - \frac{(y+6)^2}{4}$

元の式に戻ると

$x^2 + xy - 2y^2 + 6x + 8 = (x + \frac{1}{2}y + 3)^2 - \frac{1}{4}(y^2 + 12y + 36) - 2y^2 + 8$

$= (x + \frac{1}{2}y + 3)^2 - \frac{1}{4}y^2 - 3y - 9 - 2y^2 + 8$

$= (x + \frac{1}{2}y + 3)^2 - \frac{9}{4}y^2 - 3y - 1$

平方完成の方法ではうまく行きそうにありません。

次に、与式を因数分解した結果を $(x+ay+b)(x+cy+d)$ の形になると仮定して展開し、係数を比較することを考えます。

$(x+ay+b)(x+cy+d) = x^2 + (a+c)xy + acy^2 + (b+d)x + (ad+bc)y + bd$

係数を比較すると

$a+c = 1$

$ac = -2$

$b+d = 6$

$ad+bc = 0$

$bd = 8$

$a+c=1$ かつ $ac=-2$ を満たす $a, c$ は $a=2, c=-1$ または $a=-1, c=2$ となります。

$bd=8$ を満たす整数の組 $(b, d)$ は $(1,8), (2,4), (4,2), (8,1), (-1,-8), (-2,-4), (-4,-2), (-8,-1)$ です。

$b+d = 6$ より $(b,d) = (2,4)$ または $(b,d) = (4,2)$ となります。

ここで $a=2, c=-1$ の場合を考えると、 $ad+bc = 2d - b = 0$ となります。

$(b, d) = (2,4)$ のとき $2(4) - 2 = 6 \ne 0$, $(b,d) = (4,2)$ のとき $2(2) - 4 = 0$ となります。

したがって $a=2, c=-1, b=4, d=2$ となります。

$(x+2y+4)(x-y+2) = x^2 -xy + 2x + 2xy - 2y^2 + 4y + 4x - 4y + 8 = x^2 + xy - 2y^2 + 6x + 8$

これにより与式が因数分解できることが確認できます。

3. 最終的な答え

$(x + 2y + 4)(x - y + 2)$