$a > 0$ とする。$a^b = b^a$, $a < b$ を満たす数 $b$ が存在するような $a$ の範囲を求めよ。

はい、承知いたしました。問題6を解きます。

1. 問題の内容

$a > 0$ とする。$a^b = b^a$, $a < b$ を満たす数 $b$ が存在するような $a$ の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$a^b = b^a$ の両辺の対数をとります。自然対数（底が$e$）をとると、

$$b \log a = a \log b$$

となります。これを整理すると、

$$\frac{\log a}{a} = \frac{\log b}{b}$$

となります。ここで、$f(x) = \frac{\log x}{x}$ という関数を定義します。このとき、$f(a) = f(b)$ であり、$a < b$ です。

$f(x)$ の増減を調べます。$f'(x) = \frac{\frac{1}{x} \cdot x - \log x \cdot 1}{x^2} = \frac{1 - \log x}{x^2}$ となります。

$f'(x) = 0$ となるのは $1 - \log x = 0$、つまり $\log x = 1$ のときなので、$x = e$ です。

したがって、$x < e$ のとき $f'(x) > 0$ であり、$x > e$ のとき $f'(x) < 0$ です。つまり、$f(x)$ は $x = e$ で極大値（かつ最大値）を持ちます。

$f(a) = f(b)$ かつ $a < b$ であるためには、$a < e$ かつ $b > e$ でなければなりません。

また、$a>0$という条件も与えられています。

ここで、$a = 2$ のとき、$2^4 = 4^2$ なので、$b = 4$ とすれば $a < b$ を満たします。したがって、$a=2$は条件を満たします。

$a = 1$ のとき、$1^b = b^1$ より $1 = b$ となり、$a < b$ を満たしません。

$a$ を固定したときに条件を満たす $b$ が存在するためには、$0 < a < e$ であり、$b$ が $f(b) = f(a)$ かつ $b > a$ を満たせばよいです。特に、$a$が$e$に近いほど、$f(a)$の値は大きくなり、$b$が存在できる範囲は狭まります。$f(a) = f(b)$なる$b$が存在する条件から、$a < e$ に加え、$a>1$も必要となります。

したがって、$1 < a < e$ の範囲で、$f(a) = f(b)$ を満たす $b > a$ が存在することが必要十分です。

$f(x)$ のグラフを描くと、$x > 1$ で $f(x)$ は一度増加して減少するので、$1 < a < e$ に対して $a < b$ となる $b$ が存在します。したがって、$1 < a < e$ が答えとなります。ただし、$e \approx 2.718$です。

3. 最終的な答え

$1 < a < e$