複素数 $z = \cos\theta + i\sin\theta$ （$0 < \theta < \pi$）に対し、$\alpha = z+1$, $\beta = z-1$ とおく。 (1) $|\beta| = 2\sin\frac{\theta}{2}$ を示す。 (2) $\arg\beta = \frac{\theta}{2} + \frac{\pi}{2}$ を示す。ただし、$0 \le \arg\beta < 2\pi$ とする。 (3) $\theta = \frac{\pi}{3}$ とする。9つの複素数 $\alpha^m \beta^n$ （$m, n = 1, 2, 3$）の虚部の最小値を求め、その最小値を与える $(m, n)$ のすべてを決定せよ。

1. 問題の内容

複素数 $z = \cos\theta + i\sin\theta$ （$0 < \theta < \pi$）に対し、$\alpha = z+1$, $\beta = z-1$ とおく。

(1) $|\beta| = 2\sin\frac{\theta}{2}$ を示す。

(2) $\arg\beta = \frac{\theta}{2} + \frac{\pi}{2}$ を示す。ただし、$0 \le \arg\beta < 2\pi$ とする。

(3) $\theta = \frac{\pi}{3}$ とする。9つの複素数 $\alpha^m \beta^n$ （$m, n = 1, 2, 3$）の虚部の最小値を求め、その最小値を与える $(m, n)$ のすべてを決定せよ。

2. 解き方の手順

(1)

$\beta = z - 1 = \cos\theta + i\sin\theta - 1 = (\cos\theta - 1) + i\sin\theta$

$|\beta| = \sqrt{(\cos\theta - 1)^2 + (\sin\theta)^2} = \sqrt{\cos^2\theta - 2\cos\theta + 1 + \sin^2\theta} = \sqrt{2 - 2\cos\theta}$

ここで、半角の公式 $\sin^2\frac{\theta}{2} = \frac{1 - \cos\theta}{2}$ を用いると、

$|\beta| = \sqrt{4\sin^2\frac{\theta}{2}} = 2|\sin\frac{\theta}{2}|$

$0 < \theta < \pi$ より $0 < \frac{\theta}{2} < \frac{\pi}{2}$ であるから、$\sin\frac{\theta}{2} > 0$

よって、

$|\beta| = 2\sin\frac{\theta}{2}$

(2)

$\beta = (\cos\theta - 1) + i\sin\theta$

$\cos\theta - 1 = -2\sin^2\frac{\theta}{2}$, $\sin\theta = 2\sin\frac{\theta}{2}\cos\frac{\theta}{2}$ より

$\beta = -2\sin^2\frac{\theta}{2} + i(2\sin\frac{\theta}{2}\cos\frac{\theta}{2}) = 2\sin\frac{\theta}{2}(-\sin\frac{\theta}{2} + i\cos\frac{\theta}{2}) = 2\sin\frac{\theta}{2}(\cos(\frac{\theta}{2} + \frac{\pi}{2}) + i\sin(\frac{\theta}{2} + \frac{\pi}{2}))$

$0 < \frac{\theta}{2} < \frac{\pi}{2}$ なので、$\sin\frac{\theta}{2} > 0$

したがって、$0 < \frac{\theta}{2} + \frac{\pi}{2} < \pi$ であり、$arg\beta = \frac{\theta}{2} + \frac{\pi}{2}$

(3)

$\theta = \frac{\pi}{3}$ より、

$\alpha = z + 1 = \cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3} + 1 = \frac{3}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\beta = z - 1 = \cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3} - 1 = -\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$

$|\alpha| = \sqrt{(\frac{3}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2} = \sqrt{\frac{9}{4} + \frac{3}{4}} = \sqrt{3}$

$|\beta| = \sqrt{(-\frac{1}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3}{4}} = 1$

$\alpha = \sqrt{3}(\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i) = \sqrt{3}(\cos\frac{\pi}{6} + i\sin\frac{\pi}{6})$

$\beta = \cos\frac{2\pi}{3} + i\sin\frac{2\pi}{3}$

$\alpha^m\beta^n = (\sqrt{3})^m(\cos\frac{m\pi}{6} + i\sin\frac{m\pi}{6})(\cos\frac{2n\pi}{3} + i\sin\frac{2n\pi}{3})$

$\alpha^m\beta^n = (\sqrt{3})^m (\cos(\frac{m\pi}{6} + \frac{2n\pi}{3}) + i\sin(\frac{m\pi}{6} + \frac{2n\pi}{3}))$

虚部: $(\sqrt{3})^m \sin(\frac{m\pi}{6} + \frac{2n\pi}{3})$

$m, n = 1, 2, 3$ のとき、$\frac{m\pi}{6} + \frac{2n\pi}{3}$ は

$\frac{1\pi}{6} + \frac{2\pi}{3} = \frac{5\pi}{6}$, $\frac{1\pi}{6} + \frac{4\pi}{3} = \frac{9\pi}{6} = \frac{3\pi}{2}$, $\frac{1\pi}{6} + \frac{6\pi}{3} = \frac{13\pi}{6}$

$\frac{2\pi}{6} + \frac{2\pi}{3} = \frac{6\pi}{6} = \pi$, $\frac{2\pi}{6} + \frac{4\pi}{3} = \frac{10\pi}{6} = \frac{5\pi}{3}$, $\frac{2\pi}{6} + \frac{6\pi}{3} = \frac{14\pi}{6} = \frac{7\pi}{3}$

$\frac{3\pi}{6} + \frac{2\pi}{3} = \frac{7\pi}{6}$, $\frac{3\pi}{6} + \frac{4\pi}{3} = \frac{11\pi}{6}$, $\frac{3\pi}{6} + \frac{6\pi}{3} = \frac{15\pi}{6} = \frac{5\pi}{2}$

$\sin(\frac{5\pi}{6}) = \frac{1}{2}$, $\sin(\frac{3\pi}{2}) = -1$, $\sin(\frac{13\pi}{6}) = \frac{1}{2}$

$\sin(\pi) = 0$, $\sin(\frac{5\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin(\frac{7\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\sin(\frac{7\pi}{6}) = -\frac{1}{2}$, $\sin(\frac{11\pi}{6}) = -\frac{1}{2}$, $\sin(\frac{5\pi}{2}) = 1$

$(m, n) = (3, 2)$ のとき、$(\sqrt{3})^3 \sin(\frac{11\pi}{6}) = 3\sqrt{3} (-\frac{1}{2}) = -\frac{3\sqrt{3}}{2}$

$(m, n) = (2, 2)$ のとき、$(\sqrt{3})^2 \sin(\frac{5\pi}{3}) = 3 (-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\frac{3\sqrt{3}}{2}$

最小値は $-\frac{3\sqrt{3}}{2}$

与える $(m, n)$ は $(2, 2), (3, 2)$

3. 最終的な答え

虚部の最小値は $-\frac{3\sqrt{3}}{2}$

最小値を与える $(m, n)$ は $(2, 2), (3, 2)$