与えられた4x4行列の行列式を計算する問題です。行列は以下の通りです。 $\begin{vmatrix} 1 & 2 & 9 & 10 \\ 4 & 3 & 8 & 11 \\ 5 & 6 & 7 & 12 \\ 16 & 15 & 14 & 13 \end{vmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた4x4行列の行列式を計算する問題です。行列は以下の通りです。

$\begin{vmatrix}

1 & 2 & 9 & 10 \\

4 & 3 & 8 & 11 \\

5 & 6 & 7 & 12 \\

16 & 15 & 14 & 13

\end{vmatrix}$

2. 解き方の手順

行列式を計算する方法はいくつかありますが、ここでは行または列に関する余因子展開を使用します。計算を簡単にするため、まず行または列を操作してゼロの数を増やします。

まず、第1行を-1倍して第2行、第3行、第4行に加えます。

$\begin{vmatrix}

1 & 2 & 9 & 10 \\

3 & 1 & -1 & 1 \\

4 & 4 & -2 & 2 \\

15 & 13 & 5 & 3

\end{vmatrix}$

次に、第2列を-1倍して第1列、第3列、第4列に加えます。

$\begin{vmatrix}

-1 & 2 & 7 & 8 \\

2 & 1 & -2 & 0 \\

0 & 4 & -6 & -2 \\

2 & 13 & -21 & -10

\end{vmatrix}$

ここで、第2行に対して余因子展開を行うと、

$(-1)^{2+1}(2)\begin{vmatrix} 2 & 7 & 8 \\ 4 & -6 & -2 \\ 13 & -21 & -10 \end{vmatrix} + (-1)^{2+2}(1)\begin{vmatrix} -1 & 7 & 8 \\ 0 & -6 & -2 \\ 2 & -21 & -10 \end{vmatrix} + (-1)^{2+3}(-2)\begin{vmatrix} -1 & 2 & 8 \\ 0 & 4 & -2 \\ 2 & 13 & -10 \end{vmatrix} + (-1)^{2+4}(0)\begin{vmatrix} -1 & 2 & 7 \\ 0 & 4 & -6 \\ 2 & 13 & -21 \end{vmatrix}$

$= -2\begin{vmatrix} 2 & 7 & 8 \\ 4 & -6 & -2 \\ 13 & -21 & -10 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} -1 & 7 & 8 \\ 0 & -6 & -2 \\ 2 & -21 & -10 \end{vmatrix} + 2\begin{vmatrix} -1 & 2 & 8 \\ 0 & 4 & -2 \\ 2 & 13 & -10 \end{vmatrix}$

それぞれの3x3行列式を計算する：

1. $\begin{vmatrix} 2 & 7 & 8 \\ 4 & -6 & -2 \\ 13 & -21 & -10 \end{vmatrix} = 2(60-42) - 7(-40+26) + 8(-84+78) = 2(18) - 7(-14) + 8(-6) = 36 + 98 - 48 = 86$

2. $\begin{vmatrix} -1 & 7 & 8 \\ 0 & -6 & -2 \\ 2 & -21 & -10 \end{vmatrix} = -1(60-42) - 7(0+4) + 8(0+12) = -1(18) - 7(4) + 8(12) = -18 - 28 + 96 = 50$

3. $\begin{vmatrix} -1 & 2 & 8 \\ 0 & 4 & -2 \\ 2 & 13 & -10 \end{vmatrix} = -1(-40+26) - 2(0+4) + 8(0-8) = -1(-14) - 2(4) + 8(-8) = 14 - 8 - 64 = -58$

したがって、

$-2(86) + 50 + 2(-58) = -172 + 50 - 116 = -238$

3. 最終的な答え

-238