$5+\sqrt{3}$ の整数部分を $a$、小数部分を $b$ とするとき、$\frac{1}{a+b+1} + \frac{1}{a-b-1}$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$5+\sqrt{3}$ の整数部分を $a$、小数部分を $b$ とするとき、$\frac{1}{a+b+1} + \frac{1}{a-b-1}$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$5+\sqrt{3}$ の整数部分 $a$ と小数部分 $b$ を求める。

$\sqrt{3}$ は $1 < \sqrt{3} < 2$ を満たすので、

$6 < 5+\sqrt{3} < 7$ となる。

したがって、$a=6$ である。

$b$ は小数部分なので、$b = (5+\sqrt{3}) - a = (5+\sqrt{3}) - 6 = \sqrt{3}-1$ となる。

次に、$a+b+1$ と $a-b-1$ の値を求める。

$a+b+1 = 6 + (\sqrt{3}-1) + 1 = 6 + \sqrt{3}$

$a-b-1 = 6 - (\sqrt{3}-1) - 1 = 6 - \sqrt{3} + 1 - 1 = 6 - \sqrt{3}$

最後に、$\frac{1}{a+b+1} + \frac{1}{a-b-1}$ の値を計算する。

$\frac{1}{a+b+1} + \frac{1}{a-b-1} = \frac{1}{6+\sqrt{3}} + \frac{1}{6-\sqrt{3}}$

$\frac{1}{6+\sqrt{3}} + \frac{1}{6-\sqrt{3}} = \frac{(6-\sqrt{3}) + (6+\sqrt{3})}{(6+\sqrt{3})(6-\sqrt{3})} = \frac{12}{36-3} = \frac{12}{33} = \frac{4}{11}$

3. 最終的な答え

$\frac{4}{11}$