方程式 $\sqrt{2x-1} = 1-x$ を満たす実数 $x$ について、会話形式で解法が示されている。空欄を埋める問題。

1. 問題の内容

方程式 $\sqrt{2x-1} = 1-x$ を満たす実数 $x$ について、会話形式で解法が示されている。空欄を埋める問題。

2. 解き方の手順

アとイを求める。$\sqrt{2x-1}$ が実数であるためには、$2x-1 \ge 0$ である必要があるので、$x \ge \frac{1}{2}$。

また、$1-x \ge 0$ である必要があるので、$x \le 1$。

したがって、$\frac{1}{2} \le x \le 1$。

よって、ア=$\frac{1}{2}$, イ=1。

ウとエを求める。方程式 $\sqrt{2x-1} = 1-x$ の両辺を2乗すると、

$2x-1 = (1-x)^2$

$2x-1 = 1 - 2x + x^2$

$x^2 - 4x + 2 = 0$

これを解くと、$x = \frac{4 \pm \sqrt{16-8}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{8}}{2} = 2 \pm \sqrt{2}$

したがって、ウ=2, エ=2。

オとカを求める。$\sqrt{2}$ の近似値を求める。$1.4 < \sqrt{2} < 1.5$。

したがって、オ=1.4, カ=1.5。

キとクを求める。

$2+\sqrt{2}$ について、 $2+1.4 < 2+\sqrt{2} < 2+1.5$ なので $3.4 < 2+\sqrt{2} < 3.5$

しかし、$x \le 1$ より、$2+\sqrt{2}$ は不適。

$2-\sqrt{2}$ について、$2-1.5 < 2-\sqrt{2} < 2-1.4$ なので $0.5 < 2-\sqrt{2} < 0.6$

したがって、キ=0.5, ク=0.6。

ケとコを求める。$0.5 \le x \le 1$

$2-\sqrt{2}$ について、$2-1.42 < 2-\sqrt{2} < 2-1.41$ なので $0.58 < 2-\sqrt{2} < 0.59$

したがって、ケ=0.5, コ=0.6。

サを求める。$x=2+\sqrt{2}$ は $\frac{1}{2} \le x \le 1$ を満たさないので不適。

$x=2-\sqrt{2}$ は $\frac{1}{2} \le x \le 1$ を満たす。

したがって、サ=$2-\sqrt{2}$。

3. 最終的な答え

ア: 1/2

イ: 1

ウ: 2

エ: 2

オ: 1.4

カ: 1.5

キ: 0.5

ク: 0.6

ケ: 0.5

コ: 0.6

サ: 2-√2