与えられた条件を満たす2次関数を求める問題です。ここでは、問題(2)と(4)を解きます。 (2) 頂点が $(-4, -1)$ で、点 $(-6, 7)$ を通る2次関数を求めます。 (4) 軸が直線 $x = -3$ で、2点 $(0, 9)$, $(-2, -7)$ を通る2次関数を求めます。

1. 問題の内容

与えられた条件を満たす2次関数を求める問題です。ここでは、問題(2)と(4)を解きます。

(2) 頂点が $(-4, -1)$ で、点 $(-6, 7)$ を通る2次関数を求めます。

(4) 軸が直線 $x = -3$ で、2点 $(0, 9)$, $(-2, -7)$ を通る2次関数を求めます。

2. 解き方の手順

(2) 頂点が与えられているので、2次関数を $y = a(x - h)^2 + k$ の形で表します。ここで、頂点の座標は $(h, k) = (-4, -1)$ です。

したがって、$y = a(x + 4)^2 - 1$ となります。

点 $(-6, 7)$ を通るので、この座標を代入して $a$ を求めます。

$7 = a(-6 + 4)^2 - 1$

$7 = a(-2)^2 - 1$

$7 = 4a - 1$

$8 = 4a$

$a = 2$

したがって、2次関数は $y = 2(x + 4)^2 - 1$ です。

これを展開すると、$y = 2(x^2 + 8x + 16) - 1 = 2x^2 + 16x + 32 - 1 = 2x^2 + 16x + 31$ となります。

(4) 軸が $x = -3$ なので、2次関数は $y = a(x + 3)^2 + q$ の形で表されます。

点 $(0, 9)$ と $(-2, -7)$ を通るので、これらの座標を代入して $a$ と $q$ を求めます。

$9 = a(0 + 3)^2 + q$ より $9 = 9a + q$

$-7 = a(-2 + 3)^2 + q$ より $-7 = a + q$

これらの式を連立させて解きます。

$9 = 9a + q$

$-7 = a + q$

上の式から下の式を引くと $16 = 8a$ となり、$a = 2$ が得られます。

$-7 = 2 + q$ より $q = -9$ が得られます。

したがって、2次関数は $y = 2(x + 3)^2 - 9$ です。

これを展開すると、$y = 2(x^2 + 6x + 9) - 9 = 2x^2 + 12x + 18 - 9 = 2x^2 + 12x + 9$ となります。

3. 最終的な答え

(2) $y = 2x^2 + 16x + 31$

(4) $y = 2x^2 + 12x + 9$