$x = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ のとき、以下の2つの式の値を求める問題です。 (1) $x^2 - x - 1$ (2) $x^4 - 2x^3 + 1$

1. 問題の内容

$x = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ のとき、以下の2つの式の値を求める問題です。

(1) $x^2 - x - 1$

(2) $x^4 - 2x^3 + 1$

2. 解き方の手順

(1) $x^2 - x - 1$ の場合

まず、$x = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ を $x^2 - x - 1$ に代入します。

$x^2 = (\frac{1 - \sqrt{5}}{2})^2 = \frac{1 - 2\sqrt{5} + 5}{4} = \frac{6 - 2\sqrt{5}}{4} = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$

したがって、

$x^2 - x - 1 = \frac{3 - \sqrt{5}}{2} - \frac{1 - \sqrt{5}}{2} - 1 = \frac{3 - \sqrt{5} - 1 + \sqrt{5}}{2} - 1 = \frac{2}{2} - 1 = 1 - 1 = 0$

(2) $x^4 - 2x^3 + 1$ の場合

$x = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ より $2x = 1 - \sqrt{5}$ 、つまり $2x - 1 = -\sqrt{5}$ となります。

両辺を2乗すると、 $(2x - 1)^2 = (-\sqrt{5})^2$ より $4x^2 - 4x + 1 = 5$

よって、$4x^2 - 4x - 4 = 0$ 、 $x^2 - x - 1 = 0$ となります。

これは(1)の結果と一致します。

ここで、$x^2 = x + 1$ であることを利用して、$x^4 - 2x^3 + 1$ を変形します。

$x^3 = x(x^2) = x(x+1) = x^2 + x = (x+1) + x = 2x + 1$

$x^4 = (x^2)^2 = (x+1)^2 = x^2 + 2x + 1 = (x+1) + 2x + 1 = 3x + 2$

したがって、

$x^4 - 2x^3 + 1 = (3x+2) - 2(2x+1) + 1 = 3x + 2 - 4x - 2 + 1 = -x + 1 = -\frac{1 - \sqrt{5}}{2} + 1 = \frac{-1 + \sqrt{5} + 2}{2} = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$

3. 最終的な答え

(1) 0

(2) $\frac{1 + \sqrt{5}}{2}$