与えられた行列 A, B, C に対して、$A^TBC$ を計算し、その結果の行列の各要素の値を求める問題です。$A^TBC$ の結果は、 $A^TBC = \begin{pmatrix} a & b & c & d \\ e & f & g & h \end{pmatrix}$ と与えられています。

1. 問題の内容

与えられた行列 A, B, C に対して、$A^TBC$ を計算し、その結果の行列の各要素の値を求める問題です。$A^TBC$ の結果は、

$A^TBC = \begin{pmatrix} a & b & c & d \\ e & f & g & h \end{pmatrix}$

と与えられています。

2. 解き方の手順

まず、A の転置行列 $A^T$ を計算します。

$A = \begin{pmatrix} -1 & 0 & -1 \\ 2 & 2 & 0 \end{pmatrix}$ より、

$A^T = \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 0 & 2 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$

次に、行列の積 BC を計算します。

$B = \begin{pmatrix} -1 & 2 & 0 & -1 \\ 0 & -2 & -1 & 2 \\ -1 & 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & -2 & -2 \end{pmatrix}$

$C = \begin{pmatrix} -1 & -1 & -2 & -1 \\ -1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & -1 & 2 \\ 2 & 1 & 1 & -2 \end{pmatrix}$

$BC = \begin{pmatrix} (-1)(-1) + (2)(-1) + (0)(0) + (-1)(2) & (-1)(-1) + (2)(0) + (0)(2) + (-1)(1) & (-1)(-2) + (2)(1) + (0)(-1) + (-1)(1) & (-1)(-1) + (2)(1) + (0)(2) + (-1)(-2) \\ (0)(-1) + (-2)(-1) + (-1)(0) + (2)(2) & (0)(-1) + (-2)(0) + (-1)(2) + (2)(1) & (0)(-2) + (-2)(1) + (-1)(-1) + (2)(1) & (0)(-1) + (-2)(1) + (-1)(2) + (2)(-2) \\ (-1)(-1) + (1)(-1) + (2)(0) + (0)(2) & (-1)(-1) + (1)(0) + (2)(2) + (0)(1) & (-1)(-2) + (1)(1) + (2)(-1) + (0)(1) & (-1)(-1) + (1)(1) + (2)(2) + (0)(-2) \\ (0)(-1) + (0)(-1) + (-2)(0) + (-2)(2) & (0)(-1) + (0)(0) + (-2)(2) + (-2)(1) & (0)(-2) + (0)(1) + (-2)(-1) + (-2)(1) & (0)(-1) + (0)(1) + (-2)(2) + (-2)(-2) \end{pmatrix}$

$BC = \begin{pmatrix} 1 - 2 + 0 - 2 & 1 + 0 + 0 - 1 & 2 + 2 + 0 - 1 & 1 + 2 + 0 + 2 \\ 0 + 2 + 0 + 4 & 0 + 0 - 2 + 2 & 0 - 2 + 1 + 2 & 0 - 2 - 2 - 4 \\ 1 - 1 + 0 + 0 & 1 + 0 + 4 + 0 & 2 + 1 - 2 + 0 & 1 + 1 + 4 + 0 \\ 0 + 0 + 0 - 4 & 0 + 0 - 4 - 2 & 0 + 0 + 2 - 2 & 0 + 0 - 4 + 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 & 0 & 3 & 5 \\ 6 & 0 & 1 & -8 \\ 0 & 5 & 1 & 6 \\ -4 & -6 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

最後に、$A^TBC$ を計算します。

$A^T = \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 0 & 2 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$

$BC = \begin{pmatrix} -3 & 0 & 3 & 5 \\ 6 & 0 & 1 & -8 \\ 0 & 5 & 1 & 6 \\ -4 & -6 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

これは、$A^T$ が 3x2 の行列で、$BC$ が 4x4 の行列なので、積を計算することはできません。問題文の行列Aが2x3なので、結果の$A^TBC$は2x4行列になるはずなので、BCの結果が4x4ではなく2x4になるように問題に誤りがあると考えられます。

しかし、$A^TBC$ の形状が 2x4 であることから $A^TBC$ を計算することを求められているので、仮に$B$が3x4，$C$が4x4だった場合でも計算できるように解答します。

$B = \begin{pmatrix} -1 & 2 & 0 & -1 \\ 0 & -2 & -1 & 2 \\ -1 & 1 & 2 & 0 \end{pmatrix}$

$C = \begin{pmatrix} -1 & -1 & -2 & -1 \\ -1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & -1 & 2 \\ 2 & 1 & 1 & -2 \end{pmatrix}$

このとき、$BC$は計算できません。問題文にある行列の形に誤りがあり、これ以上計算を進めることはできません。

3. 最終的な答え

問題文に誤りがあるため、正確な値を求めることはできません。