与えられた4x4行列の行列式を計算します。行列は次のとおりです。 $ \begin{bmatrix} 2 & 5 & -2 & 8 \\ 1 & 3 & 1 & 5 \\ 1 & 2 & 0 & 3 \\ 1 & 4 & 3 & 6 \end{bmatrix} $

1. 問題の内容

与えられた4x4行列の行列式を計算します。行列は次のとおりです。

$$

\begin{bmatrix}

2 & 5 & -2 & 8 \\

1 & 3 & 1 & 5 \\

1 & 2 & 0 & 3 \\

1 & 4 & 3 & 6

\end{bmatrix}

$$

2. 解き方の手順

行列式を計算するために、行または列に関する余因子展開を行います。計算を簡単にするために、できるだけ多くのゼロを持つ行または列を選択します。ここでは3行目を選択します。行列式は次のように計算できます。

$\det(A) = 1 \cdot C_{31} + 2 \cdot C_{32} + 0 \cdot C_{33} + 3 \cdot C_{34}$

ここで、$C_{ij}$は要素$a_{ij}$の余因子です。余因子は次のように定義されます。

$C_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}$

ここで、$M_{ij}$は小行列式であり、i行とj列を削除した行列の行列式です。したがって、行列式は次のようになります。

$\det(A) = 1 \cdot (-1)^{3+1} M_{31} + 2 \cdot (-1)^{3+2} M_{32} + 0 \cdot (-1)^{3+3} M_{33} + 3 \cdot (-1)^{3+4} M_{34}$

$\det(A) = M_{31} - 2 \cdot M_{32} - 3 \cdot M_{34}$

ここで、小行列式は次のとおりです。

$M_{31} = \begin{vmatrix} 5 & -2 & 8 \\ 3 & 1 & 5 \\ 4 & 3 & 6 \end{vmatrix} = 5(6-15) - (-2)(18-20) + 8(9-4) = 5(-9) + 2(-2) + 8(5) = -45 - 4 + 40 = -9$

$M_{32} = \begin{vmatrix} 2 & -2 & 8 \\ 1 & 1 & 5 \\ 1 & 3 & 6 \end{vmatrix} = 2(6-15) - (-2)(6-5) + 8(3-1) = 2(-9) + 2(1) + 8(2) = -18 + 2 + 16 = 0$

$M_{34} = \begin{vmatrix} 2 & 5 & -2 \\ 1 & 3 & 1 \\ 1 & 4 & 3 \end{vmatrix} = 2(9-4) - 5(3-1) + (-2)(4-3) = 2(5) - 5(2) - 2(1) = 10 - 10 - 2 = -2$

$\det(A) = M_{31} - 2 \cdot M_{32} - 3 \cdot M_{34} = -9 - 2(0) - 3(-2) = -9 - 0 + 6 = -3$

3. 最終的な答え

-3